Considere la posibilidad de un juego donde se gana con probabilidad $p$. Podemos jugar a 5 juegos de este tipo, y si ganamos el juego número 5, podemos seguir jugando hasta que lo perdemos.
a) Encuentre el número esperado de partidos jugados
b) Encuentre el número esperado de juegos perdidos
Considerando la una) parte del problema, he definido que X es una variable aleatoria que mide el número de juegos, a partir de las 5 (ya que estamos convencidos de que el juego es jugado al menos 5 veces), y llegó a la $$E(X) = \frac{5-4p}{1-p}$$ la que parece ser la correcta.
No tengo idea de cómo acercarse a la segunda parte del problema.
La solución oficial a los estados que se espera que el número de partidos jugados veces la probabilidad de pérdida, es decir, $E(X)\cdot(1-p) = 5-4p$ sin explicación alguna. Por lo que cualquier clase de intuición o explicación (o una solución alternativa) sería muy apreciada.
$\bf{edit}$ He llegado a E(X) mediante la definición de una variable aleatoria discreta con la siguiente distribución $$X\sim \left( \begin{array}{ c c c } 5 & 6 & 7 & ... & k \\ 1 - p & p(1-p) & p^2(1-p) & ... & p^{k-5}(1-p) \end{array} \right) $$ y la aplicación de la definición de las expectativas.
$\bf{edit 2}$ Traté de definir una variable aleatoria $Y$ que mide el número de pérdidas en los primeros cuatro juegos. Así que para 0 pérdidas debemos ganar todos los juegos, por lo que la probabilidad es p^4, etc. Llegué a la siguiente distribución: $$X\sim \left( \begin{array}{ c c c } 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ p^4 & p^3(1-p) & p^2(1-p)^2 & p(1-p)^3 & (1-p)^4 \end{array} \right) $$
Sin embargo, la expectativa de que esta variable no coincide con la solución de $5-4p$.
