Demostrar que $ 1+2q+3q^2+...+nq^{n-1} = \frac{1-(n+1)q^n+nq^{n+1}}{(1-q)^2} $

Question

Probar:

$$ 1+2q+3q^2+...+nq^{n-1} = \frac{1-(n+1)q^n+nq^{n+1}}{(1-q)^2} $$

Hipótesis:

$$ F(x) = 1+2q+3q^2+...+xq^{x-1} = \frac{1-(x+1)q^x+xq^{x+1}}{(1-q)^2} $$

Prueba:

$$ P1 | F(x) = \frac{1-(x+1)q^x+xq^{x+1}}{(1-q)^2} + (x+1)q^x = \frac{1-(x+2)q^{x+1}+xq^{x+2}}{(1-q)^2} $$ $$ P2 | \frac{1-(x+1)q^x+xq^{x+1}+[(x+1)(1-q)^2]q^x}{(1-q)^2} = \frac{1-(x+2)q^{x+1}+xq^{x+2}}{(1-q)^2} $$ $$ P3| \frac{x\color{red}{q^{x+1}}+[-(x+1)]\color{red}{q^x}+1+[(x+1)(1-q)^2]\color{red}{q^x}}{(1-q)^2} = \frac{x\color{red}{q^{x+2}}-(x+2)\color{red}{q^{x+1}}+1}{(1-q)^2} | $$

Aquí me acaba de reorganizar ambos lados de la ecuación, de manera que el lado izquierdo es claramente una expresión con un grado de x+1, mientras que el grado de RHS es x+2. Ambos LHS' $\color{red}{q^x}$ se agregan siguiente.

$$P4| \frac{xq^{x+1}+[-(x+1)+(x+1)(<1^2q^0+\binom{2}{1}1q-1^0q^2>)]q^x+1}{(1-q)^2}=\frac{xq^{x+2}-(x+2)q^{x+1}+1}{(1-q)^2} $$
$$P5 | \frac{xq^{x+1}+[2xq-xq^2+2q-q^2]q^x+1}{(1-q)^2} = \frac{xq^{x+2}-(x+2)q^{x+1}+1}{(1-q)^2} $$

Me quedo atascado en este punto. No sé si me estoy acercando el problema de la manera correcta. Por lo tanto, cualquier ayuda se agradece.

Gracias de antemano.

Answer 1

Sugerencia: $1+2q+3q^2+\ldots+nq^{n-1}= (q+q^2+\ldots+q^{n})'$

Answer 2

$$\begin{align} S&=1+2q+3q^2+\qquad\cdots\qquad \qquad+nq^{n-1}\\ qS&=\qquad q+2q^2+3q^3+\cdots +\quad(n-1)q^{n-1}+nq^n \\ \text{Subtracting,}&\\ (1-q)S&=1+\;\ q \ +\ q^2 +\ q^3+\cdots \qquad \qquad +q^{n-1}-nq^n\\ &=\frac {\;\ 1-q^n}{1-q}-nq^n\\ S&=\frac{1-q^n-nq^n(1-q)}{(1-q)^2}\\ &=\frac{1-(n+1)q^n+nq^{n+1}}{(1-q)^2}\qquad\blacksquare\end{align}$$

Answer 3

Aquí es un enfoque alternativo, motivado por el hecho de que generalmente es de sabios en tales problemas de multiplicar el $(1-q)$ factores a través de:

\begin{align} (1-q)^2(1+2q+3q^2+\cdots +nq^{n-1}) &=(1-q)\cdot (1-q)(1+2q+3q^2+\cdots +nq^{n-1})\\ &=(1-q)\cdot (1+q+q^2+\cdots +q^{n-1}-nq^{n})\\ &=1-(n+1)q^{n}+nq^{n+1}. \end{align} La inducción puede ser usado para verificar que multiplicar por $(1-q)$ cancela como los términos anteriores.

Answer 4

También se puede demostrar por inducción. Asumir cierto para $n$, y mostrar por $n+1$.

$$1+2q+3q^2+\cdots+nq^{n-1} = \frac{1-(n+1)q^n+nq^{n+1}}{(1-q)^2}.$$

A continuación,

$$1+2q+3q^2+\cdots+nq^{n-1}+(n+1)q^n = \frac{1-(n+1)q^n+nq^{n+1}+(n+1)q^n(1-q)^2}{(1-q)^2}= \frac{1-(n+2)q^{n+1}+(n+1)q^{n+2}}{(1-q)^2}.$$

Por lo tanto el resultado se mantiene para $n+1$. Ya que el resultado vale para $n=1$, la prueba está completa.

Answer 5

Sugerencia: Considere la serie geométrica finita dada por

\begin{equation} Q(q,p)=\sum_{k=1}^p q^k=\frac{1-q^{p+1}}{1-q} \end{equation}

Considere la posibilidad de $\frac{d}{dq}G(q,n)$ y ver a dónde te lleva...