Significado de $\mathbb{R}[x]$

Question

Me encontré con esta expresión en un papel que estaba leyendo, y estoy confundido acerca de la parte del significado. Aquí $u$ $v$ son de dos polinomios.

$$u, v \in \mathbb{R}[x]$$

Yo no estoy muy familiarizado con el uso de las $[x]$ aquí, pero si significa "entero más cercano", entonces no esta expresión equivalente a simplemente:

$$u, v \in \mathbb{Z}$$

Answer 1

$\mathbb{R}[x]$ es el conjunto de polinomios (con la variable $x$) cuyos coeficientes son tomadas de $\mathbb{R}$, el conjunto de los números reales. No tiene nada que ver con el mayor entero de la función.

Del mismo modo, la gente habla de polinomios en $\mathbb{Q}[x]$, donde los coeficientes son racionales, o, más en general, cuando los coeficientes son tomadas de una arbitraria Anillo.

Por ejemplo de un uso:

Definición: Un número real $r$ es trascendental si y sólo si, para cada $P \in \mathbb{Q}[x]$,$P(r) \neq 0$.

Usted puede encontrar más información aquí: Polinomio Anillo.

Answer 2

Más generalmente, si $\rm\:R \subset S\:$ son anillos y $\rm\:s\in S\:$ $\rm\:R[s]\:$ denota el anillo de contigüidad de $\rm\:s\:$ $\rm\:R\:,\:$es decir, el más pequeño sub-anillo de $\rm\:S\:$ contiene tanto $\rm\:R\:$ $\rm\:s\:.\:$ La notación para el polinomio anillo de $\rm\:R[x]\:$ es el caso especial donde $\rm\:x\:$ es trascendental $\rm\:R\ $ (un "indeterminado" en la antigua lengua),$\ $ es decir $\rm\: x\:$ no es raíz de ningún polinomio con coeficientes en $\rm\:R\:$. Uno puede ver $\rm\:R[x]\:$ como la contigüidad de un universal (o genéricas) el elemento $\rm\:x\:$, en el sentido de que cualquier otro contigüidad $\rm\:R[s]\:$ es un anillo-imagen de $\rm\:R[x]\:$ en la evaluación homomomorphism $\rm\: x\to s\:.\ $ Por ejemplo, si $\rm\:R \subset S\:$ son campos, a continuación, $\rm\:R[s]\cong R[x]/(f(x))\:$ donde $\rm\:f(x)\:$ es el polinomio mínimo de a $\rm\:s\:$ $\rm\:R\:.\:$ Básicamente, esto sirve fielmente anillo-en teoría, modelo $\rm\:s\:$ como un "genérico" de la raíz de $\rm\:x\:$ de la mínima polinomio $\rm\:f(x)\:$ $\rm\:s\:.\:$ Polinomio de anillos puede ser caracterizada por la existencia y unicidad de la evaluación de los mapas ("universal asignación de la propiedad"), por ejemplo, véase cualquier libro de texto de Álgebra Universal, por ejemplo, Bergman.