Teoría del planímetro radial (¡no polar!)...

Question

Estoy investigando la teoría de un radial ( no un planímetro polar) - al trazar un contorno cerrado con el "polo" del aparato en el exterior del contorno (normalmente, el "polo" estaría dentro del contorno).

Esto me ha llevado a esta horrible expresión de abajo, mientras intentaba evaluar una integral de línea - y no he podido avanzar más allá...

$$ \int_0^{2\pi } \frac{r\ldotp \mathrm{cos}\left(t\right)\ldotp \left(a+r\ldotp \mathrm{cos}\left(t\right)\right)}{\sqrt{{\left(a+r\ldotp \mathrm{cos}\left(t\right)\right)}^2 +{\left(b+r\ldotp \mathrm{sin}\left(t\right)\right)}^2 }}+\frac{r\ldotp \mathrm{sin}\left(t\right)\ldotp \left(b+r\ldotp \mathrm{sin}\left(t\right)\right)}{\sqrt{{\left(a+r\ldotp \mathrm{cos}\left(t\right)\right)}^2 +{\left(b+r\ldotp \mathrm{sin}\left(t\right)\right)}^2 }}\mathrm{dt} $$ ¿Alguien tiene alguna sugerencia sobre cómo podría proceder a la solución de esto? (Wolfram se desconecta y también lo hace el procesador simbólico rudimentario al que tengo acceso).

Por lo tanto, volví a un enfoque numérico y encontré que los resultados parecen ser físicamente plausibles (también muy bien confirmado por las mediciones utilizando un instrumento real), pero quiero encontrar el solución analítica ya que, obviamente, esto proporcionará mucha más información sobre el proceso subyacente. Por supuesto, me doy cuenta de que puede no haber una solución analítica...

Gracias por mirar.

Answer 1

Suponiendo que esta es la integral correcta que quieres evaluar, puedes hacer lo siguiente:

Como su "polo" se encuentra fuera del contorno podemos trabajar desde $$ \sqrt{a^2 + b^2} = c > r > 0 $$ donde $c$ es la distancia del origen al punto $(a,b)$ y $r$ el radio de los círculos del contorno. Expandiendo los numeradores y denominadores obtenemos $$ \int_0^{2 \pi} \frac{ r^2 + a r \cos t + b r \sin t }{ \sqrt{r^2 + a^2 + b^2 + 2 a r \cos t + 2 b r \sin t} } d t, $$ donde ya usé eso $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ . Ya que también podemos utilizar que $a \cos t + b \sin t = \sqrt{a^2+b^2} \sin(t + \phi) = c\sin(t + \phi) $ para $\phi = \arctan a/b$ la integral se simplifica $$ \int_0^{2 \pi} \frac{r^2 + r c \sin (t+\phi)}{\sqrt{r^2 + c^2 + 2 r c \sin (t+\phi)}} d t. $$ Mientras que la integración es a lo largo de todo un periodo, el desplazamiento angular $\phi$ se puede descartar, y obtenemos $$ \int_0^{2 \pi} \frac{r^2 + r c \sin t}{\sqrt{r^2 + c^2 + 2 r c \sin t}} d t $$ Una forma alternativa de ver este resultado es girar el marco de referencia de forma que el punto $(a,b)$ se encuentra en el $y$ -eje a distancia $c$ desde el origen.

Sólo hay que evaluar dos integrales: $$ \int_0^{2 \pi} \frac{1}{\sqrt{1 + q \sin t}} d t $$ $$ \int_0^{2 \pi} \frac{\sin t}{\sqrt{1 + q \sin t}} d t $$ con $0 < q = 2 r c/\sqrt{r^2+c^2}<1$ . Estas dan lugar a las funciones integrales elípticas completas $E(..)$ y $K(..)$ y dará lugar a $$ (c-r) \left[ E\left(\frac{-4 c r}{(c-r)^2}\right) - K\left(\frac{4 c r}{(c+r)^2}\right) \right] + (c+r) \left[ E\left(\frac{4 c r}{(c+r)^2}\right) - K\left(\frac{-4 c r}{(c-r)^2}\right) \right] $$