Al resolver una fracción continua simplificándola en una ecuación cuadrática, ¿tiene algún significado la raíz extraña?

Question

Supongamos que queremos encontrar el valor de la siguiente expresión, con infinitos términos: $$ y = {1\over 1+ {1\over 1+ {1\over 1+ {1\over \ddots}}}} $$ Para resolverlo, seguimos el siguiente procedimiento, sustituyendo la fracción continuada por el propio término equivalente, y luego formando y resolviendo la ecuación cuadrática formada.: $$ y = \frac{1}{1+y} $$ Resolviendo la cuadrática $y^2+y-1$ , obtenemos dos raíces, $y=\frac{-1+\sqrt5}{2}$ y $y=\frac{-1-\sqrt5}{2}$ de los cuales sólo la raíz positiva se considera una solución de la ecuación.

¿Por qué obtenemos la raíz negativa extra al resolver esto? ¿Tiene esta raíz algún significado relacionado con la pregunta original?

Answer 1

Desde

$$y=\frac{1}{1+y} \tag{1}$$

la ecuación cuadrática resultante debería ser

$$y^2+y1=0 \tag{2}$$

siendo las dos soluciones $y=\frac{1\pm\sqrt5}{2}$ .

Resulta que estos valores de $y$ son los puntos fijos de la función $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ donde

$$f(x)=\frac{1}{1+x} \tag{3}$$

La fracción continua converge a cualquier valor de la secuencia de funciones iteradas

$$x,\ f(x),\ f(f(x)),\ f(f(f(x))), \ldots$$

converge a. Los puntos fijos de $f$ son los únicos valores posibles a los que puede converger la fracción continua. La convergencia de la fracción continua en la vecindad de cualquiera de los puntos fijos depende de si el punto fijo es atractivo o no. Ya que $f$ es continuamente diferenciable en las vecindades de ambos $\frac{1-\sqrt5}{2}$ y $\frac{1+\sqrt5}{2}$ (sólo hay una discontinuidad en $-1$ ), cualquiera de los dos puntos fijos es atractivo si y sólo si

$$|f'(x_0)|<1$$

De (3),

$$f'(x)=\frac{-1}{(1+x)^2} \tag{4}$$

Ahora, en cualquiera de los dos puntos fijos, la ecuación (1) se obedece con $y=x_0$ por lo que (4) se reduce a

$$f'(x_0)=-\left(\frac{1}{1+x_0}\right)^2=-x_0^2 \tag{5}$$

Así que ahora llamando $x_1=\frac{1-\sqrt5}{2}$ y $x_2=\frac{1+\sqrt5}{2}$ debemos tener

$$f'(x_1)=-\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^2=\frac{-3-\sqrt5}{2} \implies |f'(x_1)|>1$$

así que $x_1$ es un punto fijo inestable, y la secuencia divergirá de este valor.

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Respuesta 1

Por lo tanto, la raíz $x_1=\frac{1-\sqrt5}{2}$ surge como un punto fijo no atractivo que se puede descartar con seguridad ya que la fracción continua no puede converger a este valor.

Para $x=\frac{-1-\sqrt5}{2}$ exactamente, $f(x)=\frac{-1-\sqrt5}{2}$ pero se trata de un equilibrio inestable (cualquier perturbación provoca una divergencia).

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Respuesta 2

También,

$$f'(x_2)=-\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^2=\frac{\sqrt5-3}{2} \implies |f'(x_2)|<1$$

así que $x_2$ es un punto fijo atractivo . Porque $f'(x_2)<0$ la secuencia convergerá de forma alterna (oscilando alrededor del punto fijo) al punto fijo en $x_2=\frac{1+\sqrt5}{2}$ .

Desde $$\begin{align} x\in(-\infty,-2) &\implies f(x)\in(-1,0) \\ x\in(-1,0) &\implies f(x)\in(0,\infty) \\ x\in(0,\infty) &\implies f(x)\in(0,\infty) \\ \end{align}$$

es bastante sencillo ver que la secuencia convergerá a $\frac{-1+\sqrt5}{2}$ para $x\in(-\infty,-2)\cup(-1,0)\cup(0,\infty)$ .