Un problema complicado sobre el condicionamiento probabilístico

Question

Las variables aleatorias reales $X$ y $Y$ son independientes y ambos tienen una distribución de Poisson con el parámetro 1, es decir, Po(1).

Encuentra:

$$\mathbb{E}\left[ \left( 2^{2X}+2^{Y} \right)^2|X+Y \right]$$

Respuesta: $$\left(\frac{9}{2}\right)^{X+Y} +2\cdot 3^{X+Y}+\left(\frac{5}{2} \right)^{X+Y}$$

Mis pasos: $$\left( 2^{2X}+2^{Y} \right)^2=2^{4X}+2^{2Y}+2\cdot 2^{2X+Y}=2^{4X}+2^{2Y}+2^{X+1}2^{X+Y}$$ Por lo tanto, tenemos $$\mathbb{E}\left[ \left( 2^{2X}+2^{Y} \right)^2|X+Y \right]=2^{X+Y}\mathbb{E}\left[ 2^{X+1}|X+Y\right]+\mathbb{E}\left[ 2^{4X}|X+Y\right]+\mathbb{E}\left[ 2^{2Y}|X+Y\right]$$

Por lo tanto, si sabemos cómo calcular $\mathbb{E}\left[ 2^{cX+d}|X+Y\right]$ para $c,d\in \mathbb{R}$ , obtendremos la respuesta, pero no sé cómo hacerlo. Por favor, ayuda.

Answer 1

Estos ejercicios son realmente interesantes.

Como primera observación, hay que tener en cuenta que sólo tenemos que calcular $\mathbb{E}\left[ 2^{cX}\mid X+Y\right]$ desde $\mathbb{E}\left[ 2^d\mid X+Y\right]=2^d$ .

Ahora necesitamos un resultado estándar sobre el condicionamiento de sumas de variables aleatorias de poisson independientes (que he mostrado anteriormente aquí ), lo que en este caso implica que:

$$ X \mid X+Y \sim \text{Binomial}\left(X+Y, \frac{1}{2}\right) $$

Por lo tanto (con ayuda del teorema del binomio), obtenemos:

$$ \begin{aligned} \mathbb{E}\left[ 2^{cX} \mid X+Y\right] &= \sum_{k=0}^{X+Y}2^{ck}{X+Y \choose k}\left(\frac{1}{2}\right)^{X+Y-k}\left(\frac{1}{2}\right)^{k} \\ &=\left(\frac{1}{2}\right)^{X+Y}\;\sum_{k=0}^{X+Y}(2^c)^k1^{X+Y-k}{X+Y \choose k}\\ &=\left(\frac{1}{2}\right)^{X+Y}\left(2^c+1\right)^{X+Y} \end{aligned} $$