Atiyah-MacDonald Ch. 4 ejercicio 20: ¿cuál es el módulo analógico de $\sqrt{\mathfrak{a}+\mathfrak{b}} = \sqrt{\sqrt{\mathfrak{a}}+\sqrt{\mathfrak{b}}}$?

Question

Atiyah-MacDonald los ejercicios 20 a 23) en el capítulo 4 de desarrollar una teoría de la primaria de la descomposición de los módulos, en analogía con la teoría desarrollada en el capítulo de los anillos. Ejercicio 20 comienza con esta definición:

Definición: Dado un (conmutativa, unital) anillo de $A$ e una $A$-módulo de $M$, y un submódulo $N\subset M$, el radical de $N$ $M$es $$r_M(N) = \sqrt{\operatorname{Ann} M/N}$$

Luego nos pide demostrar análogos a las fórmulas en el ejercicio 1.13 por el radical de un ideal. Fórmula 1.13(v) es

$$\sqrt{\mathfrak{a}+\mathfrak{b}} = \sqrt{\sqrt{\mathfrak{a}}+\sqrt{\mathfrak{b}}}$$

Esto es cierto por tomar radicales en el par de inclusiones $\mathfrak{a}+\mathfrak{b}\subset \sqrt{\mathfrak{a}}+\sqrt{\mathfrak{b}}$$\sqrt{\mathfrak{a}+\mathfrak{b}} \supset \sqrt{\mathfrak{a}}+\sqrt{\mathfrak{b}}$, la primera de las cuales es totalmente obvio y el segundo de los cuales es porque si $x^k\in\mathfrak{a}$$y^\ell\in\mathfrak{b}$$(x+y)^{k+\ell}\in\mathfrak{a}+\mathfrak{b}$.

A mí me parece que la fórmula análoga en el módulo de configuración es

$$r_M(N+N') = \sqrt{r_M(N)+r_M(N')}$$

Mientras que la inclusión $r_M(N+N') \supset r_M(N)+r_M(N')$ es cierto aquí más o menos por la misma razón que en el $\sqrt{\mathfrak{a}+\mathfrak{b}} \supset \sqrt{\mathfrak{a}}+\sqrt{\mathfrak{b}}$, y tomando radicales da $r_M(N+N')\supset \sqrt{r_M(N)+r_M(N')}$, el otro inclusión ha sido la confusión de mí y que me lleva a preguntarme si este no es el derecho de generalización de la fórmula 1.13(v). Así, la pregunta:

Es este el derecho análogo de 1.13(v)? Si es así ¿cuál es la prueba de la inclusión $r_M(N+N') \subset \sqrt{r_M(N)+r_M(N')}$? Si no, ¿qué es el derecho analógica?

Pensamientos: si este es el derecho analógica, y la prueba es también análoga, la inclusión debe seguir tomando radicales en la inclusión

$$\operatorname{Ann}\frac{M}{N+N'} \subset r_M(N)+r_M(N')$$

Pero no puedo pensar en una razón para esto. Si $x\in A$ pone $M$ dentro $N+N'$, para probar esta afirmación habría que descomponer como algo $y+y'$ donde un poder de $y$ pone $M$ dentro $N$ y una potencia de $y'$ pone $M$ dentro $N'$. ¿Cómo puedo siquiera empezar a buscar este tipo de descomposición?

Answer 1

No creo que su ecuación es verdadera. Aquí está una sugerencia distinta.

Deje $M_1,M_2$ ser finitely generadas $A$-módulos. Deje $N_1$ (resp. $N_2$) ser un submódulo de $M_1$ (resp. $M_2$). Deje $N$ denotar la imagen de $N_1 \otimes M_2 \,\oplus\, M_1 \otimes N_2 \to M_1 \otimes M_2$. Por lo tanto, $(M_1 \otimes M_2)/N = M_1/N_1 \otimes M_2/N_2$. Usando el Lema de abajo, de la siguiente manera

$$\sqrt{\mathrm{Ann}((M_1 \otimes M_2)/N)} = \sqrt{\mathrm{Ann}(M_1/N_1 \otimes M_2/N_2)} = \sqrt{\mathrm{Ann}(M_1/N_1) + \mathrm{Ann}(M_2/N_2)}$$

es decir,

$$r_{M_1 \otimes M_2}(N) = \sqrt{r_{M_1}(N_1) + r_{M_2}(N_2)}.$$

Observe que para $M_1=M_2=A$ esto le da la espalda el caso de los ideales.

Lema: Si $M_1,M_2$ son finitely generadas $A$-módulos, a continuación, $$\sqrt{\mathrm{Ann}(M_1 \otimes M_2)}=\sqrt{\mathrm{Ann}(M_1)+\mathrm{Ann}(M_2)}.$$

Prueba: De Nakayama, uno deduce que $\mathrm{supp}(M_1 \otimes M_2) = \mathrm{supp}(M_1) \cap \mathrm{supp}(M_2)$. El uso de $\mathrm{supp}(M)=V(\mathrm{Ann}(M))$ para finitely generadas $M$, se deduce que el $$V(\mathrm{Ann}(M_1 \otimes M_2)) = V(\mathrm{Ann}(M_1)+\mathrm{Ann}(M_2)),$$ de ahí el reclamo.

Añadido. Creo que es importante asumir que $M_1,M_2$ son finitely generado. Para ilustrar esto con otra propiedad, considerar la propiedad de que el radical desplazamientos con la localización, $r_{M_f}(N_f)=r_M(N)_f$$f \in A$. Usted se encontrará con dificultades a la hora de $M$ no es finitely generado. Tal vez una forma más natural en la definición de los radicales es la siguiente: $$r'_M(N) = \{x \in A : \forall m \in M \exists q \geq 0 (x^q m \in N)\} = \bigcap_{U \leq M \text{ f.g.}} r_{U}(N \cap U)$$ A continuación, $r'$ viajes con la localización.