Series de Fourier para $| \cos (x)|$

Question

Estoy teniendo problemas para entender las series de Fourier de $| \cos (x)|$ de $- \pi $ a $ \pi $ .

Entiendo que es una función uniforme, así que todos los $b_n$ s son $0$

$$a_0 = \frac 2 \pi \int_0 ^ \pi | \cos (x)|\,dx = 0$$

$$a_n = \frac 2 \pi \int _0^ \pi | \cos (x)| \cos (nx) \, dx = \frac 2 \pi \int_0 ^ \pi \cos ^2(x)\,dx.$$

ya que para todos $j,k$ no es igual a la integral es cero.

así que sólo $a_1$ restos. ¿Esto es correcto?

¿Cómo evaluaría $ \sum_ {n=1}^ \infty (-1)^{n-1} /(4n^2 - 1)\ {}$ ?

Answer 1

Aunque $ \int_0 ^ \pi \cos (x)\,dx = 0$ , $a_0 \ne 0$ porque $$ \int_0 ^{ \pi /2} | \cos (x)|\,dx= \int_ { \pi /2}^{ \pi } | \cos (x)|\,dx. $$

Podemos evaluarlo de la siguiente manera, como se puede ver en el siguiente gráfico

$$a_0 = \frac 1 \pi \int_ {- \pi }^ \pi | \cos (x)|\,dx= \frac 2 \pi \int_0 ^ \pi | \cos (x)|\,dx= \frac 4 \pi \int_0 ^{ \pi /2} | \cos (x)|\,dx = \frac 4 \pi \int_0 ^{ \pi /2} \cos (x)\,dx= \frac 4 \pi. $$ $$ \tag {1}$$

La trama de $ \cos x$ (línea punteada) y $| \cos x|$ (línea sólida) en el intervalo $[- \pi , \pi ]$ .

Los coeficientes $b_n=0$ como usted concluyó. En cuanto a la $a_n$ sólo los coeficientes impar son iguales a $0$ (véase más abajo). Las funciones $ \cos (x)$ y $ \cos (nx)$ son ortogonales en el intervalo $[- \pi , \pi ]$ pero $| \cos (x)|$ y $ \cos (nx)$ no lo son. Desde

\begin {ecuación*} \left\vert \cos (x) \right\vert = \left\ { \begin {\i1}{\b1}{\b1}{\b1}{\b1}Más} {\b1}de la familia.{\b}{\b}{\b1} \cos (x) \\ - \cos (x) \end {\i1}{\b1}{\b1}{\b1}{\b1}Aquí.{\b}{\b}{\b1} \begin {\i1}{\b1}{\b1}{\b1}{\b1}Más} {\b1}de la familia.{\b}{\b}{\b1} \text Si \\ \text Si \end {\i1}{\b1}{\b1}{\b1}{\b1}Aquí.{\b}{\b}{\b1} \begin {\i1}{\b1}{\b1}{\b1}{\b1}Más} {\b1}de la familia.{\b}{\b}{\b1} 0 \leq x \leq \pi /2 \\ \pi /2 \leq x \leq \pi , \end {\i1}{\b1}{\b1}{\b1}{\b1}Aquí.{\b}{\b}{\b1} \right. \tag {2} \end {ecuación*}

tenemos que

\begin {eqnarray*} a_{n} &=& \frac {1}{ \pi } \int_ {- \pi }^{ \pi } \left\vert \cos (x) \right\vert\cos (nx)\,dx= \frac {2}{ \pi } \int_ {0}^{ \pi } \left\vert \cos (x) \right\vert \cos (nx)\N,dx \\ &=& \frac {2}{ \pi } \int_ {0}^{ \pi /2} \left\vert \cos (x) \right\vert \cos (nx)\,dx+ \frac {2}{ \pi } \int_ { \pi /2}^{ \pi } \left\vert \cos (x) \right\vert \cos (nx)\N,dx \\ &=& \frac {2}{ \pi } \int_ {0}^{ \pi /2} \cos (x) \cos (nx)\N,dx- \frac {2}{ \pi } \int_ { \pi /2}^{ \pi } \cos (x) \cos (nx)\N,dx. \\ a_{1} &=& \frac {2}{ \pi } \int_ {0}^{ \pi /2} \cos ^{{2}(x)\ ~ -, dx- \frac {2}{ \pi } \int_ { \pi /2}^{ \pi } \cos ^{{2}(x)}, dx=0. \end {eqnarray*}

Usando la siguiente identidad trigonométrica, con $a=x,b=nx$ , \begin {ecuación*} \cos (a) \cos (b)= \frac { \cos (a+b)+ \cos (a-b)}{2}, \tag {3} \end {ecuación*}

encontramos

\begin {eqnarray*} a_{2m} &=& \frac {4}{ \pi \left ( 1-4m^{2} \right ) } \cos ( \frac {2m \pi }{2})= \frac { 4}{ \pi \left ( 1-4m^{2} \right ) }(-1)^{m} \\ a_{2m+1} &=& \frac {4}{ \pi ( 1-4(2m+1)^{2}) } \cos ( \frac {(2m+1) \pi }{2})=0, \qquad m=1,2,3, \ldots.\tag {4} \end {eqnarray*}

La expansión de $ \left\vert \cos (x) \right\vert $ en una trigonométrica Las series de Fourier en el intervalo $[- \pi , \pi ]$ es así

\begin {ecuación*} \left\vert \cos x \right\vert = \frac {a_{0}}{2}+ \sum_ {n=1}^{ \infty } \left ( a_{n} \cos (nx)+b_{n} \sin (nx) \right ) = \frac {2}{ \pi }+ \frac {4}{ \pi } \sum_ {m=1}^{ \infty } \frac {(-1)^{m}}{1-4m^{2}} \cos (2mx) \tag {5} \end {ecuación*}

$$| \sin (x)|\ \text {(blue) and the partial sum } \frac {2}{ \pi }+ \frac {4}{ \pi } \sum_ {m=1}^{5 } \frac {(-1)^{m}}{1-4m^{2}} \cos (2mx) \ \text {(red) in }[- \pi , \pi ]$$

Configuración $x=0$ en $(5)$ obtenemos

\begin {ecuación*} 1= \frac {2}{ \pi }+ \frac {4}{ \pi } \sum_ {m=1}^{ \infty } \frac {(-1)^{m}}{1-4m^{2}}= \frac {2}{ \pi }- \frac {4}{ \pi } \sum_ {n=1}^{ \infty } \frac {(-1)^{n-1}}{1-4n^{2}}. \tag {6} \end {ecuación*}

Por lo tanto

\begin {ecuación*} \sum_ {n=1}^{ \infty } \frac {(-1)^{n-1}}{1-4n^{2}}= \frac {1}{2}- \frac { \pi }{4}. \tag {7} \end {ecuación*}

Answer 2

No es correcto. $$ \int_0 ^ \pi | \cos x| \cos (n\,x)\,dx= \int_0 ^{ \pi /2} \cos x \cos (n\,x)\,dx- \int_ { \pi /2}^ \pi\cos x \cos (n\,x)\,dx. $$ Calcule las integrales y verá que el resultado no es $0$ .

Answer 3

Debes dividir la integral en tres intervalos: $ \left [- \pi \cdots - \frac { \pi }{2} \right ]$ , $ \left [- \frac { \pi }{2} \cdots \frac { \pi }{2} \right ]$ y $ \left [ \frac { \pi }{2} \cdots \pi \right ]$

Que representan las regiones donde el signo de $ \cos x$ cambios. \begin {ecuación*} \left\vert \cos x \right\vert = \begin {casos} - \cos x & - \pi \le x \le - \frac { \pi }{2} \\ \cos x & \frac { \pi }{2} \le x \le \frac { \pi }{2} \\ - \cos x & \frac { \pi }{2} \le x \le \pi \end {Casos} \end {ecuación*}

Cuando enchufé la integral sobre las tres regiones en Maple obtuve:

\begin {alineado*} a_n &= \frac {1}{2 \pi } \int\limits_ {t=- \pi }^{ \pi } \left\vert \cos (t) \right\vert \cos (nt) \\ &= \frac {1}{2 \pi } \int\limits_ {t=- \pi }^{- \frac { \pi }{2}}(- \cos (t)) \cos (nt) \\ &+ \frac {1}{2 \pi } \int\limits_ {t=- \frac { \pi }{2}}^{ \frac { \pi }{2}} \cos (t) \cos (nt) \\ &+ \frac {1}{2 \pi } \int\limits_ {t= \frac { \pi }{2}}^{ \pi }(- \cos (t)) \cos (nt) \\ &=-4{ \frac { \cos \left ( \frac {1}{2} \pi n \right ) }{ \left ( -1+{n}^{2} \right ) \pi }} \end {alineado*}

Desde entonces, $ \left\vert \cos t \right\vert $ es que incluso podrías romper la integral en dos y encontrar $a_n$ como en la respuesta de Julián. \begin {alineado*} a_n &= \frac {2}{ \pi } \int\limits_ {t=0}^{ \pi } \left\vert \cos (t) \right\vert \cos (nt) \\ &= \frac {2}{ \pi } \int\limits_ {t=0}^{ \frac { \pi }{2}} \cos (t) \cos (nt) \\ &+ \frac {2}{ \pi } \int\limits_ {t= \frac { \pi }{2}}^{ \pi }(- \cos (t)) \cos (nt) \\ &=-4{ \frac { \cos \left ( \frac {1}{2} \pi n \right ) }{ \left ( -1+{n}^{2} \right ) \pi }} \end {alineado*} para $1 < n$ y $a_0 = \frac {2}{ \pi }$

Mi respuesta es simplemente una amplificación de la respuesta de Julián, pero, espero que ayude.