Prueba de la desigualdad $||a+b|^p - |a|^p| \leq \epsilon |a|^p + C_{\epsilon} |b|^p$

Question

En este documento , se utiliza implícitamente el siguiente teorema (véase el ejemplo (a) en la página 488):

Dejemos que $0<p<\infty$ . Para cada $\epsilon > 0$ existe alguna $C_{\epsilon} > 0$ tal que $\forall a,b \in \mathbb{C}$ : $$ \left||a+b|^p - |a|^p \right| \leq \epsilon |a|^p + C_{\epsilon} |b|^p $$

¿Es un resultado conocido? Me gustaría conocer su demostración, y su nombre si lo tiene. ¿Puede alguien indicarme una referencia a este resultado que incluya una prueba, o darme un esquema de la misma?

He intentado utilizar la desigualdad de Jensen para el caso $p>1, a,b>0$ pero no parece que funcione.

Answer 1

Definir $k=\dfrac{b}{a}$ . Este teorema equivale a demostrar que $$\left||1+k|^p-1\right|\le\epsilon+C_\epsilon|k|^p$$ Primero dejemos $|1+k|\ge 1$ , entonces debemos tener $$|1+k|^p-1\le\epsilon+C_\epsilon|k|^p$$ o de forma equivalente $$\dfrac{|1+k|^p-1-\epsilon}{|k|^p}\le C_\epsilon$$ si $|1+k|^p\le1+\epsilon$ el teorema se cumple con cualquier $C_\epsilon>0$ entonces suponga que $|1+k|^p>1+\epsilon$ . Por la desigualdad del triángulo tenemos $$(1+|k|)^p\ge|1+k|^p>1+\epsilon$$ lo que da lugar a $$|k|>(1+\epsilon)^{\frac{1}{p}}-1$$ o $$|\dfrac{1}{k}|<\dfrac{1}{(1+\epsilon)^{\frac{1}{p}}-1}$$ por lo tanto $$\dfrac{|1+k|^p-1-\epsilon}{|k|^p}<(1+|\dfrac{1}{k}|)^p<\dfrac{1+\epsilon}{((1+\epsilon)^{\frac{1}{p}}-1)^p}$$ entonces eligiendo $C_\epsilon=\dfrac{1+\epsilon}{((1+\epsilon)^{\frac{1}{p}}-1)^p}$ completamos nuestra prueba en este caso.

El otro caso es cuando $|1+k|<1$ . Aquí tenemos que demostrar que $$\dfrac{1-|1+k|^p-\epsilon}{|k|^p}\le C_\epsilon$$ para $|1+k|^p\ge 1-\epsilon$ esto se mantiene automáticamente y para $|1+k|^p<1-\epsilon$ tenemos $$|1+k|<(1-\epsilon)^{\dfrac{1}{p}}$$ esto es dentro de un círculo de radio $(1-\epsilon)^{\dfrac{1}{p}}$ centrado en $-1$ lo que geométricamente significa que $$|k|>1-(1-\epsilon)^{\dfrac{1}{p}}$$ . Aquí tomando $C_\epsilon=\dfrac{1}{\left(1-(1-\epsilon)^{\dfrac{1}{p}}\right)^p}$ cumple nuestra condición. Por lo tanto, el general $C_\epsilon$ sería $$\Large C_\epsilon=\max\left\{\dfrac{1}{\left(1-(1-\epsilon)^{\frac{1}{p}}\right)^p},\dfrac{1+\epsilon}{((1+\epsilon)^{\frac{1}{p}}-1)^p}\right\}$$

Answer 2

He tomado la idea de mi insinuación (ya desaparecida), pero en lugar de una prueba por contradicción, doy una prueba directa. Tiene elementos en común con la respuesta aceptada, pero puede ser más simple.

Lemma: Existe un $C_\epsilon \ge 1$ tal que

$$\tag 1\left||z+1|^p-1\right| \le \epsilon + C_\epsilon|z|^p$$

para todos $z\in \mathbb C.$

Prueba: Dado que el lado izquierdo $\to 0$ como $z\to 0,$ existe $\delta >0$ tal que

$$\left||z+1|^p-1\right| < \epsilon\,\text{ for } |z|< \delta.$$

Para $|z|\ge \delta,$ nota que

$$\tag 2 \frac{\left||z+1|^p-1\right|}{|z|^p}$$

es no negativo, continuo y $\to 1$ como $|z|\to \infty.$ De ello se desprende que $(2)$ está acotado en $\{|z|\ge \delta\}.$ Dejemos que $C_\epsilon$ sea el supremum de $(2)$ en este dominio. A continuación, $C_\epsilon\ge 1.$ Entonces tenemos el lado izquierdo de $(1)$ menos de $\epsilon$ en $\{|z|<\delta\}$ y por encima de $C_\epsilon|z|^p$ en $\{|z|\ge\delta\}.$ Esto da el lema.

Ahora a nuestro problema,, donde se nos da $a,b\in \mathbb C.$ El $C_\epsilon$ encontrado en el lema será el $C_\epsilon$ que funciona en el problema.

Si $a=0,$ la desigualdad se reduce a $|b|^p\le C_\epsilon |b|^p,$ que se mantiene ya que $C_\epsilon\ge 1.$ En caso contrario, podemos dividir por $|a|^p$ y la desigualdad deseada se convierte en

$$\left||(b/a)+1|^p-1\right| \le \epsilon + C_\epsilon|b/a|^p.$$

Esto se cumple por el lema y hemos terminado.