Mostrando que $\lambda$ es la probabilidad por unidad de tiempo que una partícula se decae en 1 segundo

Question

Mi libro de texto dice que $\lambda$ es la probabilidad por unidad de tiempo que el 1 de partículas se desintegran en un segundo. Eso no tiene absolutamente ningún sentido para mí - puedo ver que está relacionada con la probabilidad, pero no puede ver cómo es la probabilidad. Tenemos: $$N = N_0 e^{-\lambda t} \tag A$$ Ahora, si la probabilidad de que una partícula de descomposición es$p$, entonces podemos decir que en $t=1$, $N=(1-p)N_0$. Por lo tanto:

$$1-p= e^{-\lambda}\tag B$$ Reordenando, se obtiene: $$\lambda = \ln\biggl(\frac{1}{1-p}\biggr) \tag C$$

Lo que está mal con este razonamiento?

EDITAR:

Solo quiero añadir un ejemplo - esto es lo que inicialmente me confundió. Digamos que tenemos una probabilidad por unidad de tiempo de decaimiento de la $\frac16$. Por lo tanto, se espera que el número de partículas para ir de $N$ $\frac 56 N$en un segundo, que utilizando $(A)$, implica que el $\frac 56 = e^{-\lambda}$ (creo que este es el peligroso paso?). Esto significa que $\lambda = ln \biggl(\frac 65 \biggr) \approx 0.1823 $ e no $\frac 16 \approx 0.1667$.

Answer 1

No es una probabilidad. Tiene un nombre diferente. También se le llama constante de decaimiento ($1/\lambda=\tau$, donde$\tau$ es de por vida), el ancho del estado (o nivel), etc., pero no la probabilidad. La relación correcta es$\lambda = -\dot{p}/p$.

Answer 2

En primer lugar, cuidado con las unidades de: el argumento de la exponencial o un logaritmo siempre debe ser adimensional. Manteniendo $t$ en su (B) $$ 1-p = e^{-\lambda t} \etiqueta{B'} $$ y tomando el logaritmo de ambos lados da

$$ \ln (1-p) = -\lambda t \etiqueta{C'} $$

Ahora vamos a utilizar la expansión de Taylor de el logaritmo natural alrededor de la unidad, donde la función tiene el valor cero y pendiente unidad, $$ \ln (1 + \epsilon) \approx \epsilon \qquad\text{si }|\epsilon| \ll 1, $$ para escribir $$ -p \aprox -\lambda t. $$ Esta ecuación se convierte en exacta en el límite de muy intervalos de tiempo cortos o muy pequeñas probabilidades. Se puede interpretar esto como diciendo: "la probabilidad de observar la desintegración es proporcional a la cantidad de tiempo que esperar, siempre que no se espere demasiado tiempo," con $\lambda$ como la constante de proporcionalidad.

En este escrito $\lambda$ es el "deterioro de la probabilidad por unidad de tiempo" en lugar de "la probabilidad de que una partícula se descompone en un segundo"; estas dos declaraciones son equivalentes sólo al $\lambda^{-1} \gg \rm 1\,s$. El cálculo es todo acerca de infinitesimals.

Con respecto a su problema de ejemplo: 1/6 es demasiado grande. Pruebe con $p=0.01$.