¿Cómo puedo encontrar el $\lim_{x\to 0}\frac{7x^3-4x^2}{\sin(3x^2)}$ sin usar el de L'Hopital?

Question

$$\Large{\lim_{x\to 0}\frac{7x^3-4x^2}{\sin(3x^2)}}$$

Sé cómo encontrar este Límite sólo usando el de L'Hopital. Aquí está cómo:

$$={\lim_{x\to 0}\frac{7x^3-4x^2}{\sin(3x^2)}}$$

$$={\lim_{x\to 0}\frac{21x^2-8x}{6x\cos(3x^2)}}$$

$$={\lim_{x\to 0}\frac{x(21x-8)}{6x\cos(3x^2)}}$$

$$={\lim_{x\to 0}\frac{(21x-8)}{6\cos(3x^2)}}$$

$$=\frac{21\cdot 0 - 8}{6 \cos 0}$$

$$=\frac{-4}{3}$$

Mi pregunta es, ¿hay alguna manera de hacer esto sin usar los L'Hopital? Si es así, ¿cómo?

También tenga en cuenta: No nos han enseñado la expansión en serie de $\sin x$ .

Answer 1

Así que tenemos $$\lim_{x\to 0} \frac{7x^3 - 4x^2}{\sin(3x^2)}.$$ En primer lugar, tenemos que factorizar el numerador para que $x^3 - 4x^2 = x^2(7x - 4)$ . Por lo tanto, tenemos $$\lim_{x\to 0} \frac{x^2(7x - 4)}{\sin(3x^2)}.$$ A continuación, multiplicamos el numerador y el denominador por $3x^2$ . Nota $\frac{3x^2}{3x^2}=1$ por lo que no estamos haciendo nada arbitrariamente y sigue siendo equivalente. Sabemos que $$\lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x}=1 \text{ and } \lim_{x\to 0}\frac{x}{\sin(x)}=1$$ (hay que utilizar una calculadora o el teorema de L'Hopital para comprobarlo). Haciendo esta multiplicación, obtenemos $$\lim_{x\to 0} \frac{3x^2 x^2 (7x - 4)}{3x^2 \sin (3x^2)}.$$ Y como esto es similar a $x / \sin(x)$ porque $x / \sin(x)$ es esencialmente $1 \cdot 1 / (1 \cdot \sin(1 \cdot x))$ el límite como $x$ se acerca a $0$ de $(x / \sin(x)) = (3x^2 / 3x^2 \sin(3x^2)$ debe ser cierto debido a la proporcionalidad o a la similitud. Después de esto, podemos simplificar el límite como $x$ se acerca a $0$ de $(3x^2 \cdot x^2 \cdot (7x - 4))/(3x^2\sin(3x^2))$ hasta el límite como $x$ se acerca a $0$ de $(x^2(7x - 4)/x^2)$ . Después de esto, simplificamos el $x^2$ en el numerador y en el denominador dejando así el límite como $x$ se acerca a $0$ de $(7x -4)$ que es $-4/3$ . Pero espero que esto tenga sentido.

Answer 2

Veo que esto es lo mismo que hizo Travis, pero, creo, más fácil de leer. No me decepcionará si no recibo ningún upvote.

\begin {align} \lim_ {x \to 0} \frac {7x^3-4x^2}{ \sin (3x^2)} &= \lim_ {x \to 0} \frac {7x-4}{3} \cdot \lim_ {x \to 0} \frac {3x^2}{ \sin (3x^2)} \\ &= - \frac 43 \cdot 1 \\ &= - \frac 43 \end {align}

Answer 3

utilizando el hecho de que $\sin (3x^2) = 3x^2 + \cdots,$ se obtiene $${\lim_{x\to 0}\frac{7x^3-4x^2}{\sin(3x^2)}} = \lim_{x\to 0}\frac{-4x^2 + \cdots}{3x^2 + \cdots} = -\frac 43. $$