¿Cuál es la motivación de crear$T^*_p(\mathbb R^n)?$? ¿Cómo podemos visualizar los codificadores?

Question

Pregunta 1

En el cálculo, podemos visualizar el espacio de la tangente $T_p(\mathbb R^n)$ $p$ $\mathbb R^n$ como el espacio vectorial de todas las flechas que emanan de $p$. ¿Cuál es la motivación de la creación de $T^*_p(\mathbb R^n)?$ ¿Cómo podemos visualizar covectors?

Pregunta 2 ¿Cómo puedo probar que los conjuntos de $T^*_p(\mathbb R^n)$ son todos distintos? donde $p\in U$

Considerando $p,q\in U$$p\neq q$, supongamos que f no es cero lineal funcional y $f \in T^*_p(\mathbb R^n)\cap T^*_q(\mathbb R^n)\implies f\in T^*_p(\mathbb R^n)$$f\in T^*_p(\mathbb R^n)$.¿Cómo debo proceder?. Puede usted ayudarme por favor?

Answer 1

Sólo he dado una respuesta a la primera pregunta. Mi respuesta es una adición a la respuesta dada por janmarqz. Básicamente me acaba de proporcionar algunas parcelas para su segundo punto.

Visualización

Me gusta la visualización dado en V. Arnolds, Métodos Matemáticos de la Mecánica Clásica.

Supongamos que tenemos un covector $\omega \in T^*_0\mathbb{R}^2$, a continuación, dibuje el hyperplanes $\dots, \omega^{-1}(\{-1\}),\omega^{-1}(\{0\}),\omega^{-1}(\{1\}), \omega^{-1}(\{2\}), \dots$ (Vamos a llamarlos las líneas de contorno de $\omega$.)

Si ahora queremos ver cómo el covector actúa sobre un vector $\mathbf{v} \in T_0\mathbb{R}^2$, acabamos de dibujar la flecha que representa $\mathbf v$ y ver cuántas líneas de contorno que hemos alcanzado.

A continuación he dibujado este método para una base $\{\omega, \eta\}$$T^*_0\mathbb{R}^2$.

¿Por qué no nos dibuje flechas para covectors?

Una diferencia típica entre los vectores tangente y la cotangente vectores es su transformación comportamiento!

Vamos a usar la transformación lineal $\Phi:\mathbb R^2 \to \mathbb R^2: (x,y)^T \mapsto (x,2 y)^T$.

Vectores de transformación a través del diferencial de la $T\Phi: T \mathbb R^2 \to T \mathbb R^2$ (a veces también se denota por a $D\Phi$). En nuestro caso esto es sólo el Jacobiano de $\Phi$ es decir $\mathbf v \mapsto \begin{pmatrix}1&0\\0 & 2\end{pmatrix} \mathbf v$.

Covectors transformar de manera diferente! Un ejemplo es el gradiente de una función suave $f:\mathbb R^2 \to\mathbb R$. En el clásico del cálculo, de la que hemos visto, que $\nabla f$ es siempre ortogonal para el contorno de las líneas de $f$! Pero si se aplica la transformación de $\Phi$ y transformar $\nabla f$ como un vector, no será ortogonal más!

Pero, si visualizamos covectors por su contorno de las líneas, se comportan correctamente! Por ejemplo, si queremos dibujar el contorno de las líneas de $df$, que se quedara tangente al contorno de las líneas de $f$ después de aplicar una transformación a la visualización, que es el comportamiento correcto!

Esta es una de las razones, por qué tratamos a los vectores y covectors de manera diferente. Y también la razón por la que nos dibuja el contorno de las líneas de covectors en lugar de flechas.

Dimensiones Superiores

El razonamiento anterior es válido aún en las dimensiones superiores, aquí el contorno de las líneas de convertirse en hyperplanes lugar. (El ejemplo con el gradiente es sólo plausible para colectores de Riemann, pero el ejemplo sólo deben dar una sensación de cómo covectors son diferentes de vectores. En general covectors transformar de acuerdo a la inversa de la adjoint de $T\Phi$, es decir,$\omega \mapsto ((T\Phi)^*)^{-1}$. )

Answer 2

La pregunta 2 es fácil: Podemos considerar ya la tangente espacios de $T_p{\mathbb R}^n$ como discontinuo: Cada punto de $p$ tiene su propio espacio de la tangente. Por supuesto, todas estas tangente espacios son copias al carbón de uno y el mismo "espacio modelo" ${\mathbb R}^n$. (Si no queremos hacer de los espacios de $T_p{\mathbb R}^n$ disjuntos de un campo vectorial se convertiría en un erizo!) Ahora cada una de las $T_p{\mathbb R}^n$ tiene su propio espacio dual $\bigl(T_p{\mathbb R}^n\bigr)^*$, y estos dos espacios son considerados a ser distinto, así. Esta es una cuestión de definición; no se necesita prueba.

La pregunta 1 es la más difícil. El número 1 no es universalmente aceptada manera para "dibujar" la cotangente del vector en una foto mostrando el espacio vectorial $V$, por ejemplo, $T_p{\mathbb R}^n$. A veces usted tiene un producto escalar en $V$. Es posible, entonces, identificar cada una de las $\phi\in V^*$ con un vector de $a_\phi\in V$, de tal manera que la identidad de $$\phi(x)=a_\phi\cdot x\qquad\forall\>x\in V$$ sostiene. E. g., si $\phi:=df(p)$ es la diferencial de una función escalar $f$$p$$a_\phi=\nabla f(p)$.

Si usted quiere una "intuitivo" descripción de covectors $F\in V^*$ piensa de las fuerzas físicas. Los físicos no pueden explicar qué fuerza es, por las mismas razones que usted no tiene ninguna sensación intuitiva para covectors. Que, a continuación, dibuje el vector $a_F\in V$ y lo llaman el vector de fuerza. En realidad (por ejemplo, la gravitacional) la fuerza que actúa en el $0\in V$ es un covector $F\in V^*$. Si desea mover a lo largo del segmento $\sigma$ conectar $0\in V$ con el punto de $x\in V$, entonces usted tiene que realizar el trabajo $W_\sigma=F.x$ (o volver a $W_\sigma$, dependiendo del signo de las convenciones), mediante el cual el $.$ denota la evaluación.

Answer 3

Hay algunos pasos a tener en cuenta:

1) ¿Cómo son los conjuntos de nivel de una lineal mapas de $\Bbb R^2\to\Bbb R$?

2) ¿Cómo son los conjuntos de nivel de una lineal mapas de $\Bbb R^3\to\Bbb R$?

3) ¿Cómo son los conjuntos de nivel de una lineal mapas de $\Bbb R^n\to\Bbb R$?

4) La tangente espacios de $T_p\Bbb R^n$ son espacios vectoriales asociados a una posición $p$.

5) los Diferentes puntos de $\Bbb R^n$ recibe diferentes tangente espacios para que sean disjuntas.

6) El dual de un espacio de la tangente $T^*_p{\Bbb R^n}$ son lineales mapas de $T_p{\Bbb R^n}\to\Bbb R$, por lo que una 1-forma es una asociación lineal en el mapa a una copia de $\Bbb R^n$ conectado a $p$ en el que uno tiene la imagen se explica en los puntos 1), 2) o 3) anterior.

¿Qué acerca de un ejemplo?

Vamos a ilustrar con un sencillo de una forma $\omega=(5+x^2-y)dx+(9+x+y^2)dy$. Con él usted puede prescribir un puntos en $\Bbb R^2$ lineal funcional, vamos a recoger en el origen $\omega|_{0,0}=5dx+9dy$ que es el mismo que el lineal mapa en $\Bbb R^2\to\Bbb R$ $$(x,y)\mapsto\omega|_{0,0}(x,y)=5x+9y$$ Aquí se puede experimentar a ver cómo un poco de horizontal variación, dicen en $(\epsilon,0)$ lo covector va a ser? Este será $$\omega|_{\varepsilon,0}(x,y)=(5+\varepsilon^2)x+(9+\varepsilon)y$$ que es$\approx5x+9y$$0<\varepsilon<\!\!<1$.