¿Por qué podemos dejar fuera la mitad de la solución general?

Question

En estas pdf notas, dice en la parte inferior de la primera página y el comienzo de la segunda:

[...] cuya solución es: $$\Psi(\theta) = c_1 e^{i\omega\theta} + c_2 e^{-i\omega\theta}$$ Puesto que estamos interesados en la verdadera solución sólo es suficiente para permitir: $$\Psi(\theta) = c_1 e^{i\omega\theta}.$$

No entiendo por qué podemos desechar la $c_2 e^{-i\omega\theta}$. ¿Qué hace la segunda solución fundamental tiene que ver con nuestro ser interesado en la solución real? ¿Y qué hace esta persona significa por "interesados en la solución real sólo"? Después de todo $c_1 e^{i\omega\theta}$ no es necesariamente real.

Answer 1

Buena pregunta. Tienes razón, usted no puede realmente tirar una de las soluciones. El autor de este PDF es el uso de un mal explicado acceso directo, que va como esto: si usted expandir el complejo completo de la solución, se obtiene

$$\begin{align} \Psi(\theta) &= c_1 e^{i\omega t} + c_2 e^{-i\omega t} \\ &= (a_1 + b_1 i)(\cos\omega t + i\sin\omega t) + (a_2 + b_2 i)(\cos\omega t - i\sin\omega t) \\ &= (a_1 + a_2)\cos\omega t + (b_2 - b_1)\sin\omega t + i[(a_1 - a_2)\sin\omega t + (b_1 + b_2)\cos\omega t] \end{align}$$

Si usted sabe, por razones que no voy a entrar aquí, que sólo hay que considerar la solución real, se puede asumir "sin pérdida de generalidad" (como ellos dicen) que la parte imaginaria es cero:

$$\begin{align}a_1 &= a_2 & b_1 &= -b_2\end{align}$$

Que le permite eliminar la mitad de los coeficientes; en otras palabras, dos de $a_1,a_2,b_1,b_2$ no son independientes, sino que están relacionados con los dos restantes.

Ahora usted puede combinar las dos anteriores ecuaciones para obtener

$$\Psi(\theta) = 2a_1\cos\omega t - 2b_1\sin\omega t$$

Observe que la solución ahora tiene sólo dos coeficientes reales, $a_1$$b_1$, o lo que es equivalente, un complejo coeficiente, $c_1$. El problema es que el $c_1$ no está realmente siendo utilizado como un número complejo; más bien, es que se tomó aparte y sus componentes se utilizan por separado, que es por eso que no creo que de la manera que se explicó en el PDF es muy útil.