Sea $H$ una álgebra de Hopf sobre un campo $k$. ¿Cuáles son algunas condiciones agradables para cuando $H$ sea isomorfo a $k[G]$ para un grupo finito $G$?
La estructura de co-multiplicación en el álgebra de grupo $k[G]$ está dada por el mapa que envía $g$ a $g \otimes g$.
Dos condiciones necesarias directas son que $H$ sea de dimensión finita y que sea cocomutativa. En este punto será más limpio trabajar con la álgebra de Hopf dual $H^{\ast}$, que es de dimensión finita y conmutativa. Debido a que es conmutativa, podemos usar el lenguaje de la geometría algebraica: $\text{Spec } H^{\ast}$ tiene sentido y es un esquema de grupo finito sobre $k$. Ahora la pregunta es: ¿cuándo es un esquema de grupo finito el esquema de grupo constante $G$ para $G$ un grupo finito? Esto corresponde a $H^{\ast}$ siendo el álgebra de Hopf de funciones $G \to k$, dual al álgebra de grupo $H \cong k[G]$.
La respuesta es casi nunca. Si $k$ no es cerrado de forma separable, entonces puedes construir esquemas de grupo no constantes interesantes a partir de pares que consisten en un grupo finito $G$ y una acción del grupo de Galois absoluto $\text{Gal}(k_s/k)$ en $G$, que son constantes si la acción es trivial. Estos son precisamente los esquemas de grupo étal. Si $k$ es cerrado de forma separable, entonces cada esquema de grupo étal finito sobre $k$ es constante, pero en general hay esquemas de grupo finitos que no son étal. Por ejemplo, si $k$ tiene característica $p$, entonces $k[x]/x^p$ se puede equipar con una comultiplicación $\Delta(x) = x \otimes 1 + 1 \otimes x$ haciendo que $\text{Spec } k[x]/x^p$ sea un esquema de grupo finito no constante llamado $\alpha_p$. Surge naturalmente como el núcleo del mapa de Frobenius $\mathbb{G}_a \to \mathbb{G}_a$.
Entonces ahora supongamos que $k$ es cerrado de forma separable y tiene característica $0$ (por lo que $k$ es cerrado algebraicamente). ¡Finalmente algunas buenas noticias: en este caso cada esquema de grupo finito es étal y por lo tanto constante! En otras palabras,
Si $k$ es un campo cerrado algebraicamente de característica cero, entonces cada álgebra de Hopf cocomutativa de dimensión finita sobre $k$ es un álgebra de grupo.
Este es un caso especial del teorema de Cartier-Kostant-Milnor-Moore, aunque presumiblemente tiene una demostración más elemental.
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@Watson: no está tan estrechamente relacionado. El funtor de grupos a álgebras de Hopf es totalmente fiel; puedes recuperar el grupo subyacente de $k[G]$ como los elementos de tipo grupo. Por lo tanto, la situación es bastante diferente si solo tienes acceso a la estructura de anillo.
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Tu descripción de la comultiplicación es incorrecta; lo que has descrito es la comultiplicación en la álgebra de Hopf dual de funciones $G \to k$. La comultiplicación en $k[G]$ es $\Delta(g) = g \otimes g.
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Mis disculpas, está solucionado.