el automorphism grupo de finitely generado grupo

Question

Deje $G$ un finitely generado grupo, $\mathrm{Aut}(G)$ es su automorphism grupo, entonces es necesario que $\mathrm{Aut}(G)$ es un finitely generado grupo? Gracias de antemano.

Answer 1

No.

Un ejemplo es el Baumslag-Solitar grupo $BS(2, 4) = \langle a, b \mid a^{-1}b^2a = b^4 \rangle$, que tiene un infinitamente generado automorphism grupo (como lo demuestran aquí, al parecer, a pesar de que no es de acceso abierto). Este es sólo un caso especial y $BS(m, n) = \langle a, b \mid a^{-1}b^ma = b^n \rangle$ $|m|,|n| \ne 1$ $m | n$ o $n | m$, formar una familia entera de grupos con la misma propiedad. Vea aquí.

Answer 2

M. Vinay del ejemplo es maravilloso, porque el grupo $G$ es finitely presentados en lugar de sólo finitely generado. En esta respuesta voy a perder la "finitely presenta" la condición, pero mantener "finitely generado". Esta relajación de las condiciones que permitan que los grupos aparecen como $\operatorname{Out}(G)$.

En primer lugar, $\operatorname{Out}(G)=\operatorname{Aut}(G)/\operatorname{Inn}(G)$ es el exterior automorphism grupo. Es de todos los automorfismos quotiented a cabo por los más obvios siempre nos dan, y que son aburridos porque se ven como el grupo de todos modos. Tal vez la mejor motivación para mirar a $\operatorname{Out}(G)$ en lugar de $\operatorname{Aut}(G)$ es que en la topología, ciertas superficies tienen la propiedad de que $\operatorname{Out}(\pi_1(S))\cong \operatorname{MCG}(S)$, es decir, el grupo fundamental de la superficie es isomorfo a la asignación de la clase de grupo (el grupo de isotopía-clases de homeomorphisms - homeomorphisms pero sin menear!). Otra de las motivaciones, y relevante aquí, es que no cada grupo puede ocurrir como automorphism grupo de un grupo (por ejemplo, el infinito cíclico grupo no se produce como $\operatorname{Aut}(G)$ cualquier $G$).

Ahora, el punto de mi respuesta:

Teorema: Todos los contables de grupo $Q$ como se produce el exterior automorphism grupo de finitely generado grupo $G$, $\operatorname{Out}(Q)\cong G$.

Este es un resultado de Bumagin y Sabio (ver aquí, tercer trabajo de la parte superior). La prueba es relativamente sencilla, y se basa en un conocimiento básico de trabajo en pequeño de la cancelación de la teoría. Los grupos de $G$ que producen son nunca finitely presentado (este es un resultado intrínseco de la construcción que utilizan, llamado Rip construcción - Martin Bridson señala que estos grupos son nunca finitely presentable, diciendo que se sigue a partir de un resultado de Bieri). Los grupos de $G$ son siempre de dos generado. Si $Q$ es finitely se presenta a continuación, el grupo $G$ tiene la propiedad de ser "residual" finita, lo que significa que por cada elemento $g\in G$ existe algún objeto finito $X$ tal que $G$ actos pn $X$ de tal manera que la acción de la $g$ $X$ no es trivial.

Ahora, volviendo a la pregunta, el resultado de Bumagin y Sabio demuestra la existencia de dos grupos generados por $G$ con automorphism grupo (nota: no exterior automorphism grupo) estar en posesión de una de las siguientes propiedades.

• $\operatorname{Aut}(G)$ no es finitely generado.
• $\operatorname{Aut}(G)$ es finitely generados pero no finitely presentado.
• $\operatorname{Aut}(G)$ es finitely generados, pero no de forma recursiva presentable.
• $\operatorname{Aut}(G)$ es finitely generado y es de forma recursiva presentable.
• $\operatorname{Aut}(G)$ es finitely generado y es igual a $\operatorname{Inn}(G)\cong G$ (los grupos que producen tienen trivial centro).

...y así sucesivamente. Esto es debido a que tenemos una breve secuencia exacta $$1\rightarrow\operatorname{Inn}(G)\rightarrow\operatorname{Aut}(G)\rightarrow\operatorname{Out}(G)\rightarrow 1$$ donde el kernel $\operatorname{Inn}(G)$ es finitely generado. Así que si $\operatorname{Out}(G)$ tiene una propiedad que se levanta a las pre-imágenes con finitely generado núcleo, a continuación, $\operatorname{Aut}(G)$ también tiene esta propiedad.