Encontrar la función $f$, dado que el $f'(x) = f(x)(1-f(x))$ y que $f(0) = \frac12$

Question

Encontrar la función $f$, dado $$f'(x) = f(x)(1-f(x))$$ and that $f(0) = \frac12$

La respuesta es

$$y = \frac{1}{1+e^{-x}}$$

Lo que intenté hacer es cambio de $f'(x)$ como \frac{dy}{dx} y todos los $f(x)$ $y$ para que sea más fácil de leer para mí. Manipulación de la ecuación.

Tengo

$$\left(y + \frac1y\right)dy = 1dx$$

pero al integrar no estoy recibiendo la respuesta correcta, estoy seguro de que estoy haciendo esta mal. ¿Algún consejo?

Answer 1

$$\frac{dy}{dx}=y(1-y)$ $$$ \int\frac{dy}{y(1-y)}=\int dx $$\int\frac{dy}{y}+\int\frac{dy}{1-y}=\int dx$ $$$ \ln y-\ln(1-y)=x+c $$\ln\left(\frac{y}{1-y}\right)=x+c$ $$$ f(0)=\frac12, $c=0$. $$\frac{y}{1-y}=e^{x}$$ $$y=e^{x+c}-ye^{x}$$ $$y(1+e^{x+c})=e^{x}$$ $$y(1+e^{-x})=1$$ $$y=\frac{1}{1+e^{-x}}$$

Answer 2

Si expande el lado derecho a obtener la ecuación diferencial: $y'-y= -y^2$ en esa ecuación dejamos $u=y^{-1}$ para $u'=-y^{-2}y'$ ahora multiplicamos la ecuación original con $-y^-{2}$. Ahora tenemos la ecuación: $-y^{-2}y'+y^-{1}=1$ que por nuestra sustitución transforma: $u'+u=1$ supongo que lo puede tomar desde aquí!