Determinar todas las funciones $f:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}$ que satisfacen la ecuación funcional $f(2f(x) + f(y)) = 2x + y$

Question

Determina todas las funciones $f$ definidas en el conjunto de números racionales que toman valores racionales para los cuales $$f(2f(x) + f(y)) = 2x + y \tag{1}$$ para cada x e y.

Esta pregunta es de la Olimpiada Nacional de Canadá de 2008.

La forma de la ecuación definitoria sugiere fuertemente una función lineal, y eso es todo lo que encontré. ¿Hay algún truco en algún lugar que permita otra clase de soluciones?

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Dado que $x, y \in \mathbb{Q}$ pero toman todos los posibles valores de otra manera, somos libres de imponer restricciones a voluntad.

$$x=y=0: f(3f(0))=0 \tag{2}$$

$$y=x: f(3f(x))=3x \tag{3}$$

$$x=0: f(2f(0)+f(y))=y \tag{4}$$

$$y=0: f(2f(x)+f(0))=2x \tag{5}$$

Por (5) y (2)Ver el razonamiento de $\color{blue}{\text{grand_chat}}$:

$$f(x)=0 \implies x=0 \tag{6}$$

Entonces, por (2) nuevamente:

$$f(0) = 0 \tag{7}$$

Pon $y=2x$ en (4) y equate a (5):

$$\begin{align} & f(2f(0)+f(2x)) = f(2f(x)+f(0)) \\ \implies & 2f(0)+f(2x) = 2f(x)+f(0) &(\color{blue}{\text{f invertible}}) \\ \implies & 2f(x)-f(2x) = f(0) = 0 \\ \implies & f(x)=kx \tag{8} \end{align}$$

Ahora por (3):

$$f(3f(x))=f(3kx)=3k^2x=3x \implies x=0 \lor k=\pm1$$

Por lo tanto $$\boxed{f(x)=kx,\quad k\in\{-1,1\}}$$

Answer 1

Primero establecemos que $f$ es uno a uno: Si $f(x)=f(y)=a$, entonces por (1) tenemos $f(3a)=2x+y$. Intercambiando $y$ y $x$ en (1) obtenemos $f(3a)=2y+x$, por lo tanto $x=y$.

Para demostrar que $f(x)=0$ implica $x=0$, supongamos que $f(x)=0$. Entonces, por (3), $f(0)=3x$. Poniendo esto en (2) obtenemos $f(9x)=0$. Pero $f$ es uno a uno, así que $x=0$.

Luego obtenemos $f(0)=0$ por (2). Pon esto en (4) para obtener $$f(f(y))=y \quad\mbox{para todo $y$}. \tag{*}$$

Aplica $f$ a ambos lados de (5) y utiliza (*) para obtener $2f(x)=f(2x)$. Aplica $f$ a ambos lados de (1) y utiliza (*) para obtener $f(2x)+f(y)=f(2x+y)$, de lo cual concluimos que $f$ es lineal.

A partir de aquí, sigue el argumento habitual de que $f(rx)=rf(x)$ para todo entero $r$, y luego que esto se cumple para todos los racionales $r$. Pon $x=1$ para obtener que $f(r)=rf(1)$, es decir, $f(x)=kx$ para algún racional $k$. Continúa desde aquí hasta tu conclusión de que $k$ es igual a $1$ o $-1$.