Demuestre$U \cap \ker T \not = 0$ donde$U$ es un subespacio de$\mathbf R^5 $

Question

$\ T: \mathbf R^5 \rightarrow \mathbf R^5 , \ T^2 =0$ y deja que$U$ sea un subespacio de$\ T $ y$\dim U = 3 $

probar: $\ U \cap \ker T \not= \{0\} $

Si entiendo correcto entonces$w \in \operatorname{im}T, \ v \in \mathbf R^5, \ T(v) = w,\ T(w) = T(T(v)) = 0 $

así que$\operatorname{im}T \subseteq \ker T$ y, por lo tanto,$\dim(\operatorname{im}T) \leq \dim(\ker T) $ (¿no está seguro de que sea cierto?)

y porque$\dim(\mathbf R^5) = 5 $ así que$\dim(\ker T) \geq 3 $

$\dim(\ker T) + \dim(U) = 6 > \dim(\mathbf R^5) $ debe ser ese$\ U \cap\ker T \not = \{0 \}$

Siento que estoy lejos de aquí ..

Answer 1

Su razonamiento se ve bien, pero debería ser$\dim(\ker T) + \dim(U) \ge 6 $, ya que no puede garantizar la igualdad.

Si desea justificar su conclusión con más cuidado, considere probar que$ \dim(U) + \dim(V) = \dim(U + V) + \dim(U \cap V) $, para subespacios U y V de$ \mathbf R^n $ (o más generalmente, subespacios de algún espacio vectorial W. EDIT: debería haber dicho) para algún espacio vectorial finito dimensional W). Si tiene este hecho, ¿puede averiguar cómo concluir el resultado que desea?