Cálculo de dimensiones de una pirámide para caber dentro de un ortoedro

Question

Estoy tratando de adaptarse a una pirámide dentro de un rectángulo, pero maximizar las dimensiones de la pirámide, mientras que aún permanecen en el interior del paralelepípedo.

Dadas las dimensiones del paralelepípedo (longitud, anchura, altura), ¿cómo podría calcular las dimensiones de la pirámide con el fin de maximizar su volumen en el interior del paralelepípedo?

Estoy en busca de la pirámide se originan en la posición que se muestra en las fotos de abajo. Creo que el ángulo de rotación de la pirámide también es importante. Pero no estoy realmente seguro de cómo llevar a cabo las matemáticas para estos cálculos.

Answer 1

Hay dos posibles candidatos para el más grande a la derecha de la pirámide, con una base rectangular, inscrita en un rectángulo. La más obvia es la "vertical", teniendo como base una de las caras del prisma y como vértice el centro de la cara opuesta. El volumen de esta pirámide es ${1\over3}abc$, donde $a$, $b$ y $c$ son el paralelepípedo de dimensiones.

El otro posible candidato es el "inclinada", en la cual alcanza su mayor volumen cuando su vértice $V$ es el punto medio de una arista (vea el diagrama a continuación: por supuesto, usted necesita $FB\ge BC$). Pero resulta que el volumen de una pirámide es, una vez más, ${1\over3}abc$.

La razón por la que también se puede ver en el plano: azul y rojo los triángulos isósceles en la figura a continuación tienen la misma área, para cualquier rectángulo. De hecho, si el triángulo azul tiene base $a$ y la altitud $b$, entonces el triángulo rojo tiene base $b$ (lado derecho del rectángulo) y la altitud $a$.

Y la inscripción de los triángulos isósceles no tener un lado en común con el rectángulo tiene en la zona baja, como se puede ver en los dos ejemplos anteriores: si dividimos cada triángulo en dos triángulos más pequeños con la línea discontinua, tomado como base común, entonces la suma de las alturas es $\le a$ y la base es de $\le b$.