Encontrar el ángulo de un triángulo inscrito dentro de dos círculos congruentes.

Question

Dos círculos congruentes, centrados en $A$ y $B$ se cruzan en $C$ . Cuando $AC$ se extiende, interseca el círculo centrado en $B$ en $D$ . Si $\angle DAB$ es $43^{\circ}$ , entonces encuentra $\angle DBA$ en grados.

Lo que intenté hacer fue proyectar una línea de $A$ hacia arriba hasta tocar el círculo y conectarlo con $C$ . Luego extiendo una línea desde $C$ à $B$ . Pensé que estos dos nuevos triángulos eran congruentes debido a la similitud de sus lados y encontré el $\theta$ por encima de $A$ para ser $47^{\circ}$ así que pensó $D$ también sería $47^{\circ}$ dejando el final $\angle DBA$ para ser $90^{\circ}$ lo cual no es correcto.

Gracias por cualquier ayuda mi geometría es bastante mala por lo que estoy intentando hacer problemas y buscar información relevante cuando me atasco. No tengo mucha información así que sé que tengo que extender algunas líneas pero aparte de eso no estoy seguro.

Answer 1

$\color{red}{\text{Solution by using trigonometry}}$

Déjalo, $R$ sea el radio de cada círculo & $\angle DBA=x\implies \angle ADB=180^\circ-(43^\circ+x)$

En isósceles $\triangle BCD$ $$CD=2R\cos (180^\circ-(43^\circ+x))=-2R\cos(43^\circ+x)$$ $$AD=AC+CD=R-2R\cos (43^\circ+x)=R(1-2\cos(43^\circ+x))$$

Ahora, aplicando la regla del seno en $\triangle ABD$ $$\frac{\sin \angle DAB}{BD}=\frac{\sin \angle DBA}{AD}$$ Ahora, sustituyendo los valores correspondientes obtenemos $$\frac{\sin 43^\circ}{R}=\frac{\sin x}{R(1-2\cos(43^\circ+x))}$$

$$\sin 43^\circ(1-2\cos (43^\circ+x))=\sin x$$

$$\sin 43^\circ-2\sin 43^\circ\cos (43^\circ+x)=\sin x$$

$$(1-2\sin^243^\circ)\sin x+\sin 86^\circ\cos x=\sin 43^\circ$$

$$\sin x\cos 86^\circ+\sin 86^\circ\cos x=\sin 43^\circ$$ $$\sin (x+86^\circ)=\sin 43^\circ$$ Pero, $x>0$ por lo que obtenemos $$x+86^\circ=180^\circ-43^\circ$$ $$x=180^\circ-43^\circ-86^\circ=51^\circ$$ Por lo tanto, obtenemos $$\bbox[5px, border:2px solid #C0A000]{\color{red}{\angle DBA=51^\circ}}$$

Answer 2

Ambos $CAB$ y $CBD$ son triángulos isósceles, así que: $$\widehat{ADB}=\widehat{DCB}=2\cdot\widehat{CAB}=86^\circ $$ y: $$\widehat{DBA}=\widehat{CBA}+\widehat{CBD}=43^\circ+(180^\circ-2\cdot 86^\circ) = 43^\circ+8^\circ = \color{red}{51^\circ}.$$