¿Por qué los operadores irrelevantes requieren infinitos contraterms?

Question

Por lo que yo entiendo, en la imagen wilsoniana de la renormalización, vemos una teoría como si tuviera algún corte fijo y acoplamientos desnudos, e integramos los modos de alto momento para entender lo que ocurre a bajo momento. Decimos que un operador es relevante si su constante de acoplamiento crece cuando pasamos a escalas de bajo momento, e irrelevante si se reduce.

Ahora, en la imagen "habitual" de la renormalización, tenemos una QFT que queremos definir como un límite continuo de una teoría con un corte, es decir, el límite en el que el corte llega al infinito. Queremos tomar este límite manteniendo fijas las constantes de acoplamiento físicas en alguna escala de energía; para ello, añadimos contrapartidas dependientes del corte al Lagrangiano desnudo. Decimos que una interacción es renormalizable si sólo necesitamos añadir un número finito de contraterms, y no renormalizable si necesitamos un número infinito de contraterms.

Sin embargo, no entiendo cómo encajan estas dos imágenes. En particular, se suele afirmar que los operadores irrelevantes son no renormalizables, y los operadores relevantes son renormalizables, pero esto no me parece obvio. ¿Puede alguien explicar por qué es así?

Answer 1

Al menos en el nivel operativo, el hecho de que un operador sea relevante o irrelevante (en el IR) te indica su dimensión de escala canónica.

Creo que el Imagen de renormalización de BPHZ puede ayudar aquí. Dada una teoría física, nos gustaría estimar qué gráficos de Feynman de esa teoría divergen. Se puede estimar un "grado de divergencia superficial" para cada diagrama de Feynman considerando la dimensión de escala canónica de cada vértice o arista del diagrama. Digamos que tienes un diagrama con un vértice que corresponde a un término de interacción irrelevante en el IR (relevante en el UV). Entonces, en el UV (para grandes momentos), hará que la amplitud diverja. Ahora, a medida que se pasa a un orden de bucle más alto, o se insertan más de esos vértices en el mismo orden de bucle, la divergencia empeora. Y a medida que añades más y más vértices de este tipo, los diagramas correspondientes se vuelven más y más importantes en el UV, ¡debido a que los acoplamientos son relevantes para el UV! La esencia es que hay infinitos diagramas de Feynman ("independientes") que divergen, por lo que no se pueden cocinar suficientes contratemas para cancelar todas estas divergencias. Así que estos términos en el lagrangiano dan lugar a teorías no normalizables.

Véase, por ejemplo, la sección 10.1 de Peskin & Schroeder, o el enlace anterior para saber cómo calcular el grado de divergencia superficial de cualquier diagrama. Otro tecnicismo es que en realidad no se consideran los gráficos de Feynman, sino que se consideran subgrafos . Lo que esto significa es que las patas externas (no contraídas) pueden estar fuera de la cáscara, como si estuvieran sentadas dentro de un diagrama de Feynman más grande.

Teniendo en cuenta tu pregunta, tal vez ya te hayas encontrado con lo que he dicho y estés pidiendo otra cosa, en cuyo caso tu pregunta no me queda clara.