¿Puede una función continua de valor real, diferenciable en todas partes, pero$x_0$, expresarse como$g(x)+h(x)|x-x_0|$ para algunos% diferenciables$g$ y$h$?

Question

Deje $f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R$ ser una función continua y $x_0 \in \mathbb R$ , tal que f es diferenciable en ambos intervalos de $(-\infty, x_0]$ e $[x_0, +\infty)$. Probar o refutar que existen dos funciones de $g, h : \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ diferenciable en todas partes tales que

$$ f(x) = g(x) + h(x)|x - x_0|\ \ \forall x \in \mathbb R. $$

Esto se siente como que caracteriza a todos los no-diferenciable punto de una función continua en términos de valores absolutos, pero yo no podía llegar con una función para refutar ni yo era capaz de construir, $g$ e $h$.

Ayudar a los y las direcciones apreciado.

Answer 1

Aquí hay una pista:

Supongamos que $ \ phi (x) = \begin{cases} ax, & x < 0 \\ bx, & x \ge 0 \end {cases} $ , tenga en cuenta que podemos escribir $\phi(x) = {b-a \over 2} |x| + {a+b \over 2} x$ .

Answer 2

Sugerencia (para ser leído después de cobre.sombrero de pista).

Consideremos las siguientes dos diferenciable extensiones de $f$: $$F_+(x) = \begin{cases} f(x), & x \ge x_0, \\ f(x_0)+f'_+(x_0)(x-x_0), & x \le x_0, \end{casos}$$ y $$F_-(x) = \begin{cases} f(x), & x \le x_0, \\ f(x_0)+f'_-(x_0)(x-x_0), & x \ge x_0. \end{casos}$$ A continuación, $F:=F_+ + F_-$ es diferenciable en a$\mathbb{R}$y $$F(x)-f(x)=f(x_0)+\begin{cases} f'_+(x_0)(x-x_0), & x \le x_0, \\ f'_-(x_0)(x-x_0), & x \ge x_0, \end{casos}$$ que es $$F(x)-f(x)=f(x_0)+f'_+(x_0)\cdot \frac{x-x_0 -|x-x_0|}{2} +f'_-(x_0)\cdot \frac{x-x_0 +|x-x_0|}{2}.$$ Se puede tomar desde aquí?