¿Transformaciones de coordenadas generales?

Question

Digamos que tengo un campo vectorial expresado en coordenadas cartesianas: $$\mathbf{A} = \sum_i A_i \mathbf{\hat{e}}_i$$ donde el $\hat{\mathbf{e}}_i$ son la generalización de los vectores unitarios $\mathbf{\hat i}, \mathbf{\hat j}, \mathbf{\hat k}$ de 3 dimensiones.

Quiero saber cómo determinar los componentes $A_i'$ del mismo campo vectorial $\mathbf{A}$ expresado en términos de otro sistema de coordenadas ortonormal: $$\mathbf{A} = \sum_i A_i' \mathbf{\hat{e}}_i'.$$ Por supuesto, ya que $\mathbf{\hat{e}}_i'\cdot\mathbf{\hat{e}}_j' = \delta_{ij}$ podemos determinar estos componentes de la siguiente manera: $$A_j' = \mathbf{A}\cdot\mathbf{\hat{e}}_j' = \sum_i A_i \mathbf{\hat{e}}_i\cdot\mathbf{\hat{e}}_j'.$$ Ahora creo que calcular $\mathbf{\hat{e}}_i\cdot\mathbf{\hat{e}}_j'$ en general es tedioso. Sin embargo, lo he visto escrito en varios lugares (como en el libro de Arfken, Weber y Harris ) que para las transformaciones de coordenadas lineales, las nuevas componentes se pueden calcular mediante $$A_j' = \sum_i A_i \frac{\partial x_j'}{\partial x_i}$$ donde $x_i$ son las coordenadas cartesianas y $x_j'$ son las nuevas coordenadas. Para las transformaciones de coordenadas lineales, esto tiene sentido, pero también he visto que se utiliza para las transformaciones de coordenadas generales, como de coordenadas cartesianas a curvilíneas.

¿Es esto realmente correcto para las transformaciones a coordenadas curvilíneas, es decir $\mathbf{\hat{e}}_i\cdot\mathbf{\hat{e}}_j' = \partial x_j' / \partial x_i$ ? Y, si es así, ¿por qué?

Answer 1

Usted tropezó inadvertidamente con la idea de coordenadas curvilíneas y su profunda conexión con la geometría diferencial. Esta es la idea básica, en la base $\{{\bf e}_i \}_i$ se puede escribir el vector de posición de un punto como

$$ {\bf x} = \sum_i x^i {\bf e}_i $$

Ahora imagina una transformación suave de coordenadas de la forma $x^i = f^i({\bf q})$ y su inversa $q^i = g^i({\bf x})$ . Algunos ejemplos son las coordenadas esféricas $(q^1, q^2, q^3) = (r, \theta, \phi)$ coordenadas cilíndricas $(q^1, q^2, q^3) = (R, \phi, z)$ ... y, por supuesto, transformaciones lineales.

Ahora, la condición $q^i = f^i({\bf x}) = {\rm const}$ define una superficie. Por ejemplo, en el caso esférico $q^1 = {\rm const}$ define una esfera, $q^2 = {\rm const}$ define un cono y $q^3 = {\rm const}$ un avión. Se puede pensar en un punto como la intersección de estas superficies. Y los vectores unitarios asociados a estas nuevas coordenadas como las tangentes a esa superficie a lo largo de cada coordenada.

Así que la noción de vector base depende ahora de la ubicación, apuntan en diferentes direcciones dependiendo de dónde se encuentre, pero lo importante es recordar que son tangentes a las superficies $f^i({\bf q}) = {\rm const}$ . Con esta información a mano, ya puedes construirlos

$$ {\bf e}'_i \sim \frac{\partial {\bf x}}{\partial q^i} $$

Donde he omitido el signo " $=$ " para enfatizar que se necesita normalizar el resultado para asegurar $|{\bf e}'_i| = 1$ . Ahora volvamos a su pregunta, suponiendo que la base $\{e_i \}_i$ es independiente de las coordenadas, por ejemplo, el sistema de coordenadas cartesianas

$$ {\bf e}_i \cdot {\bf e}'_j = {\bf e}_i \cdot \frac{\partial}{\partial q^j}_k\sum x^k({\bf q}) {\bf e}_k = \frac{\partial x^i({\bf q})}{\partial q^j} $$