Deje que$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ sea una función medible, ¿es$f \circ \sin$ medible?

Question

Si $f \circ \sin$ es medible, entonces tenemos que mostrar que $(f \circ \sin)^{-1}(B) = \sin^{-1}(f^{-1}(B))$ es medible para cada conjunto de Borel $B$, es suficiente para mostrar que $\sin^{-1}$ toma un conjunto de Lebesgue en un conjunto de Lebesgue. También hemos tratado de trabajar con el hecho de que $\arcsin$ es localmente Lipschitz, así que si esta propiedad es suficiente para demostrar que la imagen de un conjunto de Lebesgue es Lebesgue, entonces $\sin^{-1}(f^{-1}(B)) = \cup_{n \in \mathbb{Z}} \arcsin(f^{-1}(B)) + 2n\pi $ sería medible.

Podría ocurrir que los $f\circ \sin$ no es medible, pero la tarea de encontrar un conjunto de $B$ tal que $\sin^{-1}(f^{-1}(B))$ no es medible parece muy difícil (si no imposible?).

Answer 1

Sí, $ f \circ \sin$ es medible. La composición de funciones medibles es, en general, no medibles, así que hay algo para hacer. Que alude a la utilización de Lipschitzness, pero creo que la propiedad relevante es la continuidad absoluta (que sinusoidal satisface). Sólo tenemos que mostrar que absolutamente continuas funciones Lebesgue medibles de los conjuntos de Lebesgue medibles conjuntos. La respuesta está aquí: Absolutamente continua mapas de conjuntos medibles medibles de conjuntos. El punto básico es que absolutamente funciones continuas tomar null establece a null conjuntos.

Answer 2

Aquí está la parte de las matemáticas que faltaba para completar la demostración de que $f\ \circ \sin$ es mensurable: la imagen del conjunto medible de Lebesgue por la función $C^1$ es mensurable .