Cota superior asintótica

Question

Estoy leyendo la prueba de Grothendieck de la proposición acerca de la $\ell$-ádico representaciones de la descomposición de grupo de algunos de forma discreta con valores de campo, la proposición en el apéndice de Serre y Tate Buena Reducción de Abelian Variedades, y tengo una pregunta.

La opción es que $K$ es un campo completo con respecto a una discreta valoración, y $K_\ell$ es el $\ell$-parte de la máxima confiando inocentemente ramificado extensión de $K_{nr},$ que es el máximo nonramified extensión de $K$; es decir, $K_\ell$ se genera sobre $K_{nr}$ la $\ell^{n\text{th}}$ raíces de un uniformizer ($\ell$ es un primer distinta de la de $p$, la característica de los residuos de campo - $p$ puede $0$). La prueba va a decir que uno ve fácilmente que, si $L$ es una extensión finita de $K_\ell$, cada elemento de la $L$ es $\ell^{\text{th}}$ de potencia, por lo tanto el orden de $\operatorname{Gal}(K_s/K_\ell)$ es el primer a $\ell$. En otras palabras, no es finita de Galois de la extensión de $K_\ell$ de orden divisible por $\ell$.

Yo no entiendo el razonamiento. Mi comprensión de la situación es que el $\operatorname{Gal}(K_s/K_\ell)$ es una extensión de un grupo isomorfo a $$\prod_{q\text{ prime}\ne p,\ell}\mathbf{Z}_q$$ por un pro-$p$ group ( $p$ es la característica de los residuos de campo). Esto debería implicar que ningún elemento de un número finito de cociente de $\operatorname{Gal}(K_s/K_\ell)$ es de orden divisible por $\ell$, y a su vez esto puede ser usado para ver que cada elemento de a$L$ que el anterior es un $\ell^\text{th}$ de energía.

Puede que alguien me explique el razonamiento en el original de la prueba?

Answer 1

Creo que esta es la idea general, la adaptación a otros campos locales no deberían ser muy diferentes :

Deje $K = \mathbf{Q}_p$, $K^{nr} = K(\zeta_{p^\infty-1})$, $K_\ell = K^{nr}(p^{1/\ell^\infty})$ ($\ell$ primer $\ne p$) y $L/K_\ell$ de un número finito de extensión.

Deje $f(x) = (1+x)^{1/\ell} = \sum_{n=0}^\infty {1/\ell \choose n} x^n,x \in \overline{\mathbf{Q}_p}$. Desde $|{1/\ell \choose n}|_p \le 1$ la serie converge para $|x|_p < 1$ , en cuyo caso $f(x) \in \mathbf{Q}_p(x)$ (como $\mathbf{Q}_p(x)$ para $|.|_p$)

Si $y \in L$ entonces $|y|_p = p^{\ell^r u/v }$ con $\ell \nmid v \in \mathbb{Z}$ lo $|y^v (p^u)^{\ell^r}|_p = 1$ y, para algunos, $\zeta^{p^m-1}=1$ e $|x|_p < 1$ : $y^v = (p^u)^{-\ell^r} \zeta\, (1+x)$ donde $y^{v/\ell} \in L$ e $vw = 1 + \ell t \implies y^{1/\ell}= y^{-t} (y^{v/\ell})^w \in L$.

Si $L/K_\ell$ es de Galois de grado $N \equiv 0 \bmod \ell$ entonces $Gal(L/K_\ell)$ contiene un subgrupo cíclico $H$ orden $\ell$ lo $L/L^H$ es cíclico de orden $\ell$ así (*) $L= L^H(a^{1/\ell})$ lo cual es una contradicción.

De dónde finito separables extensiones de $K_\ell$ son de grado no divisible por $\ell$.

(*) Desde $L/L^H$ es cíclica de grado $\ell$ con grupo de Galois generado por $\sigma$ e $\zeta_\ell \in L^H$, dejando $b \in L, b \not \in L^H$ entonces $c= \sum_{m=1}^{\ell} \zeta_\ell^m \sigma^m(b)$ satisface $c=\zeta_{\ell} \sigma(c)$ donde $c^\ell=\prod_{m=1}^{\ell} \sigma^m(c) \in L^H$, dejando $a = c^\ell$ entonces $L^H(a^{1/\ell})/L^H$ es un no-trivial subextension que tiene que ser $L/L^H$ desde $[L:L^H]$ es primo.

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En el carácter $p$ la misma idea funciona desde $\sum_{n=0}^\infty {1/\ell \choose n} x^n \in \mathbf{Z}_p[[x]]$ por lo que puede reducirse $\bmod p$ obtener $(1+x)^{1/\ell} \in \mathbf{F}_p[[x]]$.

Answer 2

A ver que cada elemento de a$L$ es $\ell^\text{th}$ el poder, vamos a $L=K_l[t]/a(t)$ para $a(t)$ un irreductible polinomio separable $a(t)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_0$, y supongamos $t$ no es un $l^\text{th}$ de potencia en $L$. Esto implica que la polinomio $a_l(t)=a_nx^{ln}+a_{n-1}x^{l(n-1)}+\ldots+a_0$ es irreductible, y separables más de $K_l$. Deje $K'/K$ ser un finita de Galois de la extensión que contiene toda la $l^{\text{th}}$ las raíces de la unidad y de la $a_i$, y el contenido en $K_l$. La extensión de $K'[t]/a_l(t)$ es finito y separables y se encuentra en un finita de Galois de la extensión de $K''$ de $K'$con $l$ dividiendo $[K'':K']$, lo $l$ divide el índice de ramificación o el residual de grado. Si el último, haciendo un finito unramified extensión de $K'$ produce un ello en la irreductibilidad de $a_l(t)$ sobre $K_l$. En el primer caso, la sustitución de $K''$ por $K'[\pi^{1/l}]\subset K_l$ igualmente produce una contradicción.