Tamaños de un par de secuencias con sumas idénticas de pares

Question

Actualmente estoy recogiendo diversos problemas para un examen para mis estudiantes. Mientras mira a través de las viejas tareas de mis colegas me encontré con el siguiente problema (marcado como difícil):

Dadas dos secuencias de números naturales $\{a_k\}$ e $\{b_k\}$, $k=1,\ldots,n$ (con la no-idénticos conjuntos de elementos) de tal forma que los conjuntos de sus pares sumas $$\{a_1+a_2,a_1 + a_3,\ldots, a_{n-1}+a_n\}$$ and $$\{b_1+b_2,b_1 + b_3,\ldots, b_{n-1}+b_n\}$$ coincide, show that $n=2^m,\ m\in\mathbb{N}.$

Por supuesto, no voy a ceder un problema que no podía resolver a mí mismo a los estudiantes, pero me gustaría ver una solución a esto. Este problema fue acompañado con el siguiente consejo:

"Utilice el hecho de que si dos polinomios $F(x)$ e $G(x)$ si $F(1)=G(1)$, a continuación, $F(x)-G(x)=(x-1)^kH(x)$, donde $H(1)\neq 0$".

Answer 1

Voy a demostrar que la afirmación es verdadera con la condición de que

• Los dos multisets $A=\{a_i+a_j:1 \le i<j\le n\}$ y $B=\{b_i+b_j:1 \le i<j\le n\}$ son los mismos (es decir, si $x \in A$ aparece $k$ veces $A$ luego $x$ aparece $k$ veces $B$).

• Dos conjuntos de $\{a_i\}$ e $\{b_i\}$ no son lo mismo.

Deje $A(x)=\sum_{i=1}^n x^{a_i}$ e $B(x)=\sum_{i=1}^n x^{b_i}$ luego tenemos a $A^2(x)=A(x^2)+2\sum_{i\in A} x^i$ y de igual manera, $B^2(x)=B(x^2)+2\sum_{i\in B} x^i$. Por lo tanto, $$A(x^2)-B(x^2)=A^2(x)-B^2(x)=[A(x)+B(x)][A(x)-B(x)].$$ Desde $A(1)=B(1)=n$ lo $A(x)-B(x)=(x-1)^kG(x)$ donde $G(1)\ne 0, k \ge 1$.Esta de la siguiente manera $$(x^2-1)^k G(x^2)=A(x^2)-B(x^2)=[A(x)+B(x)]\cdot (x-1)^k G(x).$$ Por lo tanto, $(x+1)^k G(x^2)=[A(x)+B(x)]G(x)$. Sustituyendo $x=1$ en este y tenga en cuenta que $A(1)+B(1)=2n$ e $G(1)\ne 0$, obtenemos $n=2^{k-1}$, como se desee.

Answer 2

Considerar la secuencia de $(a_k)=(2,4,4)$ y la secuencia de $(b_k)=(3,3,5)$. A continuación, las dos secuencias no-idénticos conjuntos de elementos, pero los conjuntos de sus pares sumas son como sigue: $$ Un=\{2+4,2+4,4+4\}=\{6,8\} $$ $$ B=\{3+3,3+5,3+5\}=\{6,8\} $$

Pareciera entonces que necesitamos modificar el lenguaje para hacer la declaración de la verdad... tal vez debería ser un conjunto múltiple? Tal vez las secuencias no puede tener valores repetidos?

EDIT: Algunas rápida y sucia indica la siguiente pregunta reescribir tiene una mejor oportunidad de ser cierto:

Dados dos conjuntos de números naturales $A$ e $B$ donde $A\neq B$ e $|A|=|B|=n$ tal que el restringido sumsets $2^\wedge A$ e $2^\wedge B$ son iguales, muestran que $n=2^m$ para algún número natural $m$.

Para responder a @coffeemath comentario en el OP, usted puede tomar $A=\{1,4,5,6\}$ e $B=\{2,3,4,7\}$ como ejemplos del caso $n=4$.