¿Qué opción debo elegir?
$f:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ es una función. Entonces decimos que $f$ está acotado ____ $\mathbb{R}^3$ .
a) sobre; b) en; c) encima de
Lo primero que pienso es que, independientemente de la elección, la gente sabrá a qué te refieres. Sin embargo, hay que tener en cuenta algunas cosas. Para mí, decir en no es el uso más natural, aunque yo no lo tacharía de inexacto. En también funciona, pero quizá no sea la opción más natural. Como mencionó Wesley, me hace pensar en un espacio vectorial en un campo. Si no me hubieras preguntado, y me hubiera limitado a hablar, creo que habría dicho en . Hay una pequeña salvedad:
Cuando se habla de una función $f$ cartografía $\mathbb{R}^3$ en su dominio, estás indicando que el mapeo es suryectivo. Por lo tanto, podría haber una suposición implícita aquí (debería decir que $f$ está limitada en $\mathbb{R}^3$ ) que su $f$ también es suryectiva. Sin embargo, $f$ se define en su dominio, por lo que este uso es ciertamente válido.
Nota al margen: si te gusta ser particular con tu expresión escrita, un comentario adicional es que creo que es probable que quieras decir eso (y de hecho notarás que lo dije) $f$ está limitada en \over\in $\mathbb{R}^3$ que se refiere a la función, y no $f(x)$ que se refiere al valor de la función evaluada en $x$ . Cabe señalar que no es una distinción común (según mi experiencia) que se haga fuera de un entorno de análisis puro.
Por lo general, diría limitado en $\mathbb{R}$ por lo que también está limitada en $\mathbb{R}^3$ pero debo decir que esta pregunta no está muy clara. De hecho también he oído el uso de en . Si quiere decir que $\forall x \in \mathbb{R}$ consideramos el subconjunto de todos los $f(x)$ (también conocido como el rango) entonces yo diría que si el rango está acotado, está acotado en $\mathbb{R}$ . Un espacio vectorial se define a menudo en un campo como $\mathbb{R}$ . Yo diría que definimos un orden/relación sobre un conjunto. De esta forma también podríamos decir que $f$ define una relación en $\mathbb{R}$ .
Se definiría una función en un dominio, normalmente hablamos de funciones acotadas o funciones no acotadas.
Este uso sería muy diferente de cualquier uso que haya oído en inglés... Yo sólo diría "limitado en $\mathbb R^3$ ".
Supongo que los Estados Unidos tienen un inglés/jerga matemática diferente en comparación con el Reino Unido y Europa. He oído hablar de ambos en el norte de Inglaterra y en los Países Bajos.
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Quizás $f(x)$ está limitada como función en $\mathbb{R}^3$ ?