Encontrar vectores propios de la matriz de % de $(n+1) \times (n+1)$

Question

Encontrar los vectores propios de la $(n+1) \times (n+1)$matriz: $$\left(\begin {array}{cccccccc} 0&0&0&0&0&0&-1&0\\ 0&0&0&0&0&-2&0&n\\ 0&0&0&0&-3&0&n-1&0 \\ 0&0&0&\ldots&0&n-2&0&0\\ 0&0&-(n-2)&0&\ldots&0 &0&0\\ 0&-(n-1)&0&3&0&0&0&0\\ -n&0&2&0 &0&0&0&0\\ 0&1&0&0&0&0&0&0\end {array} \right)$$

Los autovalores de la matriz son $ n, n-2, n-4, \ldots, -(n-2), -n$ ver la pregunta

Deje $e_{\lambda}$ denota el vector propio correspondiente a los autovalores $\lambda$. Hasta ahora he encontrado

$$ e_0=[a_0, a_1, \ldots, a_n], a_i=\begin{cases} 0, \text{ %#%#% odd}\\ \displaystyle\binom{\frac{n}{2}}{ \frac{i}{2}}, \text{%#%#% even} \end{casos} $$ Por ejemplo, para $i$ tenemos $i$.

También $$ e_1=[a_0, a_2, \ldots, a_n], a_i=\begin{cases} 0, \text{ %#%#% even}\\ \displaystyle\binom{\frac{n-1}{2}}{ \frac{i-1}{2}}, \text{%#%#% odd} \end{casos}. $$ por ejemplo, para $n=8$ tenemos $e_0=[1, 0, 4, 0, 6, 0, 4, 0, 1]$, y

$$ e_2=[a_0, a_2, \ldots, a_n], a_i=\begin{cases} \displaystyle \binom{\frac{n}{2}-1}{\frac{i}{2}-1}-\binom{\frac{n}{2}-1}{\frac{i}{2}}, i\text{ even} \\ \\ \displaystyle 2(-1)^{i-1}\binom{\frac{n}{2}-1}{\frac{i-1}{2}} , i\text{ odd} \end{casos}. $$

por ejemplo, para $i$ hemos $i$.

Pregunta: ¿Qué es un autovector $n=7$ (con coordenadas enteras) para arbitrario $e_1=[0, 1, 0, 3, 0, 3, 0, 1]$?

Espero que el problema ya fue resuelto en el siglo 19.

Answer 1

J. M., ha comentado en una Kac matriz pregunta que el vector propio de la matriz para el Kac matriz está dada por la (cero indexado) $(n+1)\times(n+1)$ "Krawtchouk matriz" $K$ definido por $$ K_{ij}=\sum_{k=\max(0,\,i+j-n)}^{\min(i,j)} (-1)^k\binom{j}{k}\binom{n-j}{i-k},\quad (i,j\in\{0,1,\ldots,n\}). $$ Desde su matriz es similar a la Kac matriz, es de esperar que los coeficientes de sus vectores propios están estrechamente relacionadas con $K_{ij}$. Si usted trata de un par de $n$s, usted verá que algunos de los patrones emergen. Al parecer, un autovector de la matriz $V$ está dado por $$ V_{ij}= \begin{cases} (-1)^\left\lfloor(i+j+\color{red}{2})/2\right\rfloor\left(\frac{1\color{red}{-}(-1)^{i+j}}2\right)K_{ij} &\text{ when }n\equiv1 (\!\!\!\mod 4),\\ (-1)^\left\lfloor(i+j+\color{red}{1})/2\right\rfloor K_{ij} &\text{ when }n\equiv2 (\!\!\!\mod 4),\\ (-1)^\left\lfloor(i+j+\color{red}{1})/2\right\rfloor\left(\frac{1\color{red}{+}(-1)^{i+j}}2\right)K_{ij} &\text{ when }n\equiv3 (\!\!\!\mod 4),\\ (-1)^\left\lfloor(i+j+\color{red}{2})/2\right\rfloor K_{ij} &\text{ when }n\equiv0 (\!\!\!\mod 4). \end{casos} $$ Para demostrar la veracidad de esta fórmula, se puede comprobar que (si nos llame a su matriz $B$) $BV=V\operatorname{diag}(n,n-2,\ldots,2-n,-n)$. Esto equivale a probar que algunas identidades que implican los coeficientes binomiales. No he matemáticamente probado, pero he comprobado que la fórmula es correcta para $1\le n\le 20$ mediante el programa de Matlab a continuación:

function [B,V,D,diff]=kac(n)
% we should have B*V=V*D

B=fliplr(diag(n:-1:1,-1)-diag(1:n,1));
D=diag(n:-2:-n);

K=zeros(n+1,n+1);
for i=0:n
  for j=0:n
    for k=max(0,i+j-n):min(i,j)
      K(i+1,j+1)=K(i+1,j+1)+(-1)^k*nchoosek(j,k)*nchoosek(n-j,i-k);
    end
  end
end

r=rem(n,4);
if r==1
  S=(-1).^floor((2+repmat((0:n)',1,n+1)+repmat(0:n,n+1,1))./2);
  Z=(1-(-1).^(repmat((0:n)',1,n+1)+repmat(0:n,n+1,1)))./2;
  V=K.*S.*Z;
elseif r==2
  S=(-1).^floor((1+repmat((0:n)',1,n+1)+repmat(0:n,n+1,1))./2);
  V=K.*S;
elseif r==3
  S=(-1).^floor((1+repmat((0:n)',1,n+1)+repmat(0:n,n+1,1))./2);
  Z=(1+(-1).^(repmat((0:n)',1,n+1)+repmat(0:n,n+1,1)))./2;
  V=K.*S.*Z;
else
  S=(-1).^floor((2+repmat((0:n)',1,n+1)+repmat(0:n,n+1,1))./2);
  V=K.*S;
end

diff=max(max(abs(B*V-V*D)))  % should be zero

return

Matlab no parece que el uso de grandes enteros para calcular los coeficientes binomiales. Así, el programa anterior puede devolver un resultado falso negativo si $n$ es grande.