El número de matrices no singulares$n\times n$ sobre$\mathbb{F}_2$ con exactamente$k$ entradas no cero

Question

Supongamos $M_{n}^{k}$ es el número de no-singular $n\times n$ matrices de más de $\mathbb{F}_2$, que tienen exactamente $k$ cero entradas. ¿Hay algún tipo de fórmula para calcular el $M_n^k$?

Si $k < n$ o $k > n^2 - n + 1$, a continuación, $M_n^k = 0$ por el principio del palomar (en el primer caso siempre tenemos al menos una fila cero, en el segundo caso siempre tenemos al menos dos filas iguales). Si $k = n$, entonces todos los no-singular matrices tienen que ser de permutación de matrices. Por lo tanto $M_n^n = n!$. Sin embargo, no sé cómo lidiar con la situación, donde $n < k < n^2 - n + 1$.

Cualquier ayuda será apreciada.

Answer 1

Creo que hay una manera de generar las matrices : Empezamos con una matriz de permutación $P$. Hay $n!$ permutaciones con cada uno de ellos - $n$ cero entradas.

Así que ahora vamos a agregar el $E_1$ tal que $E_1$ es igual a cero en todas partes, excepto su $(i,j)$ entrada. Queremos que la suma todavía no-singular y lo $i$ e $j$ puede tomar $n^2-n$ valores en total. Podemos añadir a cualquier entrada que antes era cero.

Si queremos añadir otra matriz $E_2$ tenemos $n^2 - n -1$ entradas posibles para el elemento distinto de cero. Si repetimos el proceso $m$ veces $Card(E_m)=n^2-(n+m-1)$. Continuamos hasta $m$ verifica que $m=k-n .$ Y hemos generado una no singular de la matriz con exactamente $k$ cero entradas.

Podemos concluir que: $$M_k^n=(n!*(n^2-n)*(n^2-n-1)...*(n^2-k+1)).$$ Nosotros simplemente multiplica el número de posibilidades permitidas en cada paso del proceso. Soy 100% seguro que así si algo parece fuera de contacto por favor dígame. Todo este razonamiento para $n<k<n^2 -n +1$.