Si el cuadrado de cada elemento de un anillo está en el centro, ¿debe el anillo ser conmutativo?

Question

Deje que $R$ sea un anillo con identidad tal que el cuadrado de cualquier elemento pertenezca al centro de $R$ . ¿Es necesario que el $R$ sea conmutativo?

(Puedo mostrar que para cualquier $x,y\in R$ , $2(xy-yx) =0 $ pero no puedo probar la conmutatividad de $R$ .)

Answer 1

He aquí un contraejemplo. Considere la posibilidad de la $\mathbb{F}_2$-álgebra $R$ generado por dos elementos $x,y$ modulo de relaciones que $x^2=y^2=0$ y cada palabra de longitud $3$ formado por $x$ e $y$ es $0$. Explícitamente, $R$ ha $\{1,x,y,xy,yx\}$ como base y cualquier producto de base de los elementos que puedan dar una palabra no es $0$. Desde $xy\neq yx$, $R$ no es conmutativa.

Yo ahora dicen que el cuadrado de cada elemento de $R$ es central. De hecho, para un elemento $r=a+bx+cy+dxy+eyx\in R$ ($a,b,c,d,e\in\mathbb{F}_2$) tenemos $$r^2 = a^2 + bcxy + bcyx.$$ To show that such an element is central, it suffices to show that $xy+yx$ is central. But this is trivial, since $xy+yx$ annihilates both $x$ and $$ y en ambos lados.