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No. Supongamos $G$ es un incontable grupo. Cada elemento de a$g$ de $G$ pertenece a una contables subgrupo de $G$, es decir, el subgrupo cíclico $\langle g\rangle$. Por lo tanto $G$ es la unión de todos los de su contables de los subgrupos. Desde una contables de la unión de conjuntos contables es contable, $G$ debe tener una cantidad no numerable de contables de los subgrupos.
EDIT: bof la respuesta es la correcta, pero la construcción de abajo - mientras completamente inútil overkill - es todavía un ejemplo de una técnica útil, así que voy a dejar esta respuesta.
No, esto no puede suceder.
Supongamos $G$ es un grupo y $A$ es una contables subconjunto de $G$. A continuación el cierre de $A$ en el grupo de operaciones ($*$ e $^{-1}$) $G$, $\langle A\rangle$, es de nuevo contables - este es un buen ejercicio (SUGERENCIA: el conjunto finito de cadenas a partir de una contables conjunto es contable).
Con esto en mano, si $G$ es un incontable grupo podemos construir una innumerable cadena de subgrupos de $G$, como sigue:
Vamos a definir una contables subgrupo $A_\delta$ por cada contables ordinal $\delta$. Hay una cantidad no numerable de estos, así que si podemos hacer esto vamos a hacer.
Dejamos $A_0$ ser el subgrupo trivial.
Después de haber definido $A_\eta$ por cada $\eta<\delta$, dejamos $a$ ser un elemento de $G$ no $\bigcup_{\eta<\delta}A_\eta$ - que existe, ya que esta es una contables de la unión de contables de los subgrupos, y $G$ es incontable y deje $A_\delta=\langle (\bigcup_{\eta<\delta}A_\eta)\cup\{a\}\rangle$.
Es fácil demostrar por inducción transfinita que $(A_\delta)_{\delta<\omega_1}$ es estrictamente creciente de la cadena de contables subgrupos de $G$, así que hemos terminado.
