El Efecto Aharonov-Bohm muestra el potencial vectorial $\mathbf{A}$ es más fundamental que la densidad de flujo magnético $\mathbf{B}$ . Sin embargo, el potencial vectorial es introducido por $$ \nabla \times \mathbf{A} = \mathbf{B} $$ o $$ \mathrm{d} \mathbf{A} = \mathbf{B} $$ que requiere el lema de Poincaré para asegurar la existencia de $\mathbf{A}$ . Si el colector no es contraíble, no hay garantía de que $\mathbf{A}$ existe. En una variedad no contratable, ¿qué ocurriría con el efecto Aharonov-Bohm?
Respuestas
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La condición necesaria y suficiente para $dB = 0$ (más comúnmente escrito $\nabla \cdot \mathbf B = 0$ ) para implicar $B = dA$ es la desaparición de la segunda cohomología de Rham $H^2 (M)$ . Esto está garantizado para una variedad contráctil ya que la cohomología es invariante de la homotopía. Sin embargo, esto es para una 2 forma $B$ definido en todo $M$ . Considere en cambio la restricción de $B$ a algún conjunto abierto $U$ , $B|_U$ . Podemos tomar $U$ para que se pueda contraer, por ejemplo, $U$ podría ser la imagen de una bola de coordenadas. Entonces $H^2(U)$ desaparece y podemos encontrar $A_U$ de manera que en $U$ , $dA_u = B|_U$ . Por lo tanto, siempre existe un local potencial vectorial.
El efecto Aharonov-Bohm está relacionado con la no desaparición de $$\Phi = \oint A$$ incluso cuando $dA = 0$ . Cuando la primera cohomología de Rham $H^1(M)$ desaparece, tenemos que $dA = 0$ equivale a $A = df$ y así, por el teorema de Stokes $\Phi$ es siempre $0$ . En particular $\Phi$ nunca puede ser distinto de cero para un espacio contráctil.
Cuando un global $A$ no se puede encontrar, todavía se puede dar sentido a la cantidad $\Phi$ pero la mejor manera de hacerlo es con las herramientas de la teoría gauge. El libro Campos galvánicos, nudos y gravedad de Báez y Muniain analiza gran parte de los conceptos mencionados en esta respuesta.
Sora
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Los relatos formales de EM no necesitan el lema de Poincare para que exista el potencial vectorial:
La mejor manera de formular una teoría como la del electromagnetismo en cualquier colector es considerarla como la $\mathrm{U}(1)$ teoría gauge en dicho colector. Entonces, el "potencial vectorial" es simplemente una conexión en el haz de círculos sobre el colector, que existe independientemente de si Poincare se mantiene o no. Los campos eléctrico y magnético son entonces componentes del tensor de curvatura $F = \mathrm{d}A$ , al igual que en el formulación covariante de EM .
El efecto Aharanov-Bohm se produce esencialmente ya en un colector no contratable, ya que la disposición habitual elimina toda una línea del colector considerado donde está el solenoide. Y $\mathbb{R}^3$ con una línea eliminada es un cilindro, y no es contraíble. (véase también esta pregunta )
