Probar que si $p$ es una extraña primer que divide un número de la forma $n^4 + 1$ $p \equiv 1 \pmod{8}$

Question

Problema

Probar que si $p$ es una extraña primer que divide un número de la forma $n^4 + 1$ $p \equiv 1 \pmod{8}$

Mi intento fue,
Desde $p$ divide $n^4 + 1 \implies n^4 + 1 \equiv 0 \pmod{p} \Leftrightarrow n^4 \equiv -1 \pmod{p}$. De ello se desprende que $(n^2)^2 \equiv -1 \pmod{p}$, lo que implica $-1$ es residuo cuadrático módulo p. Por lo tanto $p \equiv 1 \pmod{4} \Leftrightarrow p \equiv 1 \pmod{8}$.

Estoy en el camino correcto?

Gracias,

Answer 1

Como habrán notado, $p \equiv 1 \bmod 4$. A continuación,$1 \equiv n^{p-1} = (n^4)^{(p-1)/4} \equiv (-1)^{(p-1)/4} \bmod p$. Esto significa que $(p-1)/4$ es par, es decir, $p\equiv 1 \bmod 8$.

Por inducción, este argumento se generaliza a: si un extraño prime $p$ se divide en un número de la forma $n^k+1$ donde $k$ es una potencia de $2$,$p \equiv 1 \bmod {2k}$.