En $L_p = L_q$ ?

Question

Como sabemos $L_p \subseteq L_q$ cuando $0 < p < q$ para medir la probabilidad, me preguntaba cuándo $L_p = L_q$ es cierto y por qué. ¿Es para imponer alguna restricción al espacio del dominio? Gracias.

Answer 1

Se trata esencialmente del ejercicio 6.5 de la obra de Folland Análisis real . Sea $(X,\mathcal{F},\mu)$ sea un espacio de medidas, y sea $$m = \inf\{\mu(A) : A \in \mathcal{F}, \mu(A) > 0\}$$ $$M = \sup\{\mu(A) : A \in \mathcal{F}, \mu(A) < \infty\}$$

Para $0 < p < q < \infty$ es un hecho que $L^p(\mu) \subset L^q(\mu)$ si $m > 0$ y $L^q(\mu) \subset L^p(\mu)$ si $M < \infty$ (que se cumple, en particular, cuando $\mu$ es finito).

Por tanto, para una medida finita $\mu$ es necesario y suficiente que $m > 0$ todo conjunto tiene medida 0 o tiene medida al menos $m$ . Esto obligará a que tu espacio sea "efectivamente" finito en algún sentido.

Answer 2

Igualdad sólo cuando $p = q$ . Supongamos que $p < q$ y que $r = \frac{p+q}{2}$ .

Sea $B_n$ sea una secuencia de subconjuntos medibles disjuntos de su espacio de probabilidad con la propiedad de que sus medidas $|B_n| = m_n \leq 2^{-n}$ .

Sea $\chi_n$ denotan la función característica de $B_n$ . Consideremos la secuencia de funciones

$$f_n = \sum_1^n \frac{1}{m_k^{1/r}} \chi_k$$

Es fácil comprobar que esta secuencia está acotada en $L^p$ y Cauchy, por lo que converge a una función límite $f$ . Pero la secuencia es ilimitada en $L^q$ . Por lo tanto, la función límite $f$ es un elemento de $L^p$ que no está en $L^q$ .

Answer 3

Para la medida de probabilidad $ L_p \subset L_q $ . La igualdad es inalcanzable, véase http://en.wikipedia.org/wiki/Lp_space .