Variación de la curvatura escalar al deformar el marco

Question

Siguiendo el libro de texto "Ideas y Métodos de Supersimetría y Supergravedad" de Ioseph Buchbinder y Sergei Kuzenko (p38 - 40):

Si consideramos la deformación de un marco en nuestro vierbein inducida por un tensor de Lorentz simétrico de rango 2 $H$ :

$$e^m_a \rightarrow e_a^m + H_a^b e^m_b$$

Se puede mostrar fácilmente: $$g_{mn} = e^a_m e^b_n \eta_{ab}$$ $$ \implies \delta g_{mn} = -2 e_m^a e_n^b H_{ab}$$ $$ \implies H_{ab} = - \frac{1}{2} e^m_a e^n_b \delta g_{mn}$$

El siguiente objetivo sería identificar cómo varía la curvatura con respecto a la variación de la métrica para poder identificar varios invariantes (p40-41), sin embargo al intentar encontrar la variación de la curvatura escalar:

$$\delta R = 2 \nabla^c \nabla_c H^a_a - 2 \nabla^a \nabla^b H_{ab} + 2 H^{ab}R_{ab}$$ $$\implies \delta R = - \nabla^c \nabla_c (\eta^{ab} e_a^{m}e_b^{n} \delta g_{mn}) + \nabla^a \nabla^b (e_a^{m}e_b^{n} \delta g_{mn}) - (e_a^{m}e_b^{n} \delta g_{mn})R_{ab} $$

Utilizando la compatibilidad del vielbein con la derivada covariante:

$$\delta R = - \eta^{ab} e_a^{m}e_b^{n} \nabla^c \nabla_c \delta g_{mn} + e_a^{m}e_b^{n} \nabla^a \nabla^b \delta g_{mn} - e_a^{m}e_b^{n} \delta g_{mn}R_{ab}$$

Que no parece ser de la forma correcta. ¿Hay algo más que pueda probar o he enfocado esto incorrectamente?

Answer 1

Una ecuación útil podría ser $$ g^{\mu\nu} \delta R_{\mu\nu} = (g_{\mu\nu}\nabla^2 -\nabla_\mu \nabla_\nu) \delta g^{\mu\nu}, $$ ¿pero puede ser que ya lo estés usando?

Sin embargo, no creo que tengas la compatibilidad correcta. La conexión se define especificando la derivada covariante de los vectores base de $T(M)$ . En el caso de un marco vielbein ${\bf e}_a$ la derivada covariante del vector ${\bf e}_a$ se escribe como $$ \nabla_\mu{\bf e}_a = {\bf e}_b {\omega^b}_{a\mu} $$ que se puede escribir en componentes de coordenadas (es decir, donde ${\bf e}_a=e_a^\mu \partial_\mu$ ) como $$ \nabla_\mu e^\nu_a \equiv (\nabla_\mu{\bf e}_a)^\nu= e^\nu_b {\omega^b}_{a\mu}. $$ Por tanto, la derivada covariante de la base vierbein no es cero. He visto a gente argumentar a favor de pasar las vierbeins por las derivadas covariantes escribiendo esta última ecuación como $$ \partial_\mu e^\nu_a + {\Gamma^\nu}_{\lambda\mu} e^\lambda_a - e^\nu_b {\omega^b}_{a\mu}=0 $$ y pensar que esto es una especie de derivada covariante "generalizada" que es cero. Al hacer esto están cometiendo el error de imaginar que la " $a$ '' en $e_a^\mu$ es un índice en lugar de una etiqueta que nos indica qué vector de fotogramas ${\bf e}_a$ es. Quizá sea una mnemotecnia útil, pero también es algo esquizofrénica, ya que se intenta trabajar simultáneamente con un marco vielbein y una base de coordenadas para el espacio tangente $T(M)$ . No tiene sentido matemático interpretar la definición de la conexión del marco ${\omega^b}_{a\mu}$ de esa manera. Ciertamente la expresión $$ \partial_\mu e^\nu_a + {\Gamma^\nu}_{\lambda\mu} e^\lambda_a - e^\nu_b {\omega^b}_{a\mu} $$ es no el $\nu$ -componente de la derivada covariante $\nabla_\mu {\bf e}_a$ ¡! Tratarlo como si lo fuera llevará inevitablemente a la confusión, y esto es lo que sospecho que ocurre en tu cálculo.

Otra fórmula útil para la variación de la conexión de espín libre de tosión bajo un cambio de marco vielbein es $$ (\delta \omega_{ij\mu}) e^\mu_k =-\frac 12\left\{( \eta_{ib}( \nabla_j [e^{*b}_\alpha \delta e^\alpha_k]- \nabla_k [e^{*b}_\alpha \delta e^\alpha_j]) +\eta_{jb}( \nabla_k [e^{*b}_\alpha \delta e^\alpha_i]- \nabla_i [e^{*b}_\alpha \delta e^\alpha_k]) -\eta_{kb}( \nabla_i [e^{*b}_\alpha \delta e^\alpha_j]- \nabla_j [e^{*b}_\alpha \delta e^\alpha_i])\right\}. $$ donde creo que mi $\eta_{ib}e^{*b}_\alpha \delta e^\alpha_j= {\bf e}_i\cdot \delta{\bf e}_j$ son lo mismo que su $H_{ij}$