¿De qué trata la desigualdad de Taylor?

Question

Me confunde la fórmula de la desigualdad de Taylor: $$|R_n(x)| \le \frac M{(n+1)!}|xa|^{n+1}$$

1. ¿Qué es lo que $R_n$ , $M$ , $n$ , $x$ , $a$ es decir, ¿qué hay que sustituir dentro de cada variable?
2. ¿Para qué sirve esta fórmula/Cómo aplicarla en situaciones/problemas?

Answer 1

$R_n(x)=f(x)-T_n(x)$ es la diferencia entre el polinomio de Taylor (la aproximación) y el valor real de la función (lo que se quiere aproximar). Se desea que sea pequeña.

$M$ es un límite a la magnitud del $(n+1)$ de la derivada. Te gustaría que fuera pequeña, pero realmente no tienes control sobre ella; es una propiedad de la función dada y $x$ .

$n$ es el grado del polinomio de Taylor. Esto es lo que se puede cambiar.

$x$ es el punto en el que se intenta evaluar $f(x)$ .

$a$ es el punto donde se expande el polinomio de Taylor, es decir, el punto donde se toman las derivadas. (Obsérvese que se trata de no el punto donde se evalúa la derivada en la fórmula del resto).

Siempre que pueda obtener un valor de $M$ (la parte difícil) y no crece demasiado rápido con $n$ se puede utilizar para determinar cuántos términos del polinomio de Taylor se necesitan para obtener una precisión determinada. Por ejemplo, se puede demostrar que para la función exponencial,

$$\frac{\exp(x)-T_n(x)}{\exp(x)} \leq \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}$$

para $x>0$ . Esto significa que se puede hacer pequeño el error relativo haciendo pequeño el lado derecho. En una clase de cálculo probablemente lo harías comprobando por fuerza bruta unos cuantos valores.

Answer 2

Cuando una serie converge, las sumas parciales son aproximaciones al límite.

La calidad de la aproximación depende de lo pequeña que sea la diferencia entre el límite y la suma parcial.

Si calculas varios términos y ves que algunos dígitos de la suma parcial no parecen cambiar después de un tiempo, no es una prueba que no volverán a cambiar. Para demostrarlo, lo que necesitas es exactamente este tipo de fórmula.