Regular en codimension 1

Question

Disculpas si esto es una pregunta obvia. Realmente he conseguido mi cabeza enredados en nudos tratando de acercarse a ella desde el ángulo correcto, y no estoy llegando a ningún lado - así que pensé en preguntarle.

Un régimen que se dice ser regulares en codimension 1 si cada anillo local $\mathcal{O}_x$ $X$ de dimensión uno es regular.

Deje $X$ ser noetherian, integral, separados y regular en codimension 1.

A continuación, cada geometría algebraica referencia siempre dice que si un subscheme de $X$ ha codimension 1, el anillo local de su punto genérico $\eta$ es de Krull de la dimensión 1 $(*)$.

Nada parece dar a este pensamiento, y yo no puedo por la vida de ver qué es verdad. Por otra parte, no puedo ver cómo la dimensión del anillo local de un punto, es decir, la dimensión de un montón de funciones en el punto, es de ninguna manera relacionada con la dimensión del espacio real que se sienta en.

Si alguien pudiera responder

1. Por qué $(*)$ es cierto.

2. ¿Por qué estas dos cosas están relacionadas.

Estaría muy agradecido. Gracias!

Edit: Mi álgebra conmutativa ha sido muy inestable en los últimos tiempos, la más cualquier cosa de esta naturaleza se escribe, mucho mejor!

Answer 1

Si Y es un subespacio cerrado irreducible de un esquema X, $y \in Y$ el punto genérico, entonces uno tiene siempre

$$ \mathrm{codim}(Y,X) = \dim(\mathscr{O}_{X,y}). $$

Los subespacios cerrados irreducibles de $X$con $y$ están en correspondencia biyectiva con el cerrado irreducibles subespacios del esquema local $\mathrm{Spec}(\mathscr{O}{X,y})$, por lo tanto, con los ideales principales de $\mathscr{O}{X,y}$. EGA es una referencia que tiene detalles de esto (y muchas otras cosas), ver (EGA, IV_2, 5.1.2).

P.D. Feliz cumpleaños tardío de Grothendieck.

Answer 2

Ese fue también mi pregunta que Martin respondió aquí

Sugerencia: precisamente, la dimensión de $\mathcal{O}_{X,x}$ es el codimension de $\overline{{x}}$ $X.$