Comprensión de $G_2$ dentro de Spin(7)? (EDIT: problema resuelto)

Question

Esta es una pregunta bastante embarazosa, así que por favor avísenme de cualquier duplicación y con gusto la eliminaré.

Busco entender la $\mathbb Q$ -forma de división del grupo algebraico $G_2$ y el contexto en el que estoy trabajando hace que sería muy bueno tener realmente matrices con las que trabajar.

Mi actitud ha sido que, dado que los grupos y las álgebras de Lie están divididos, no está de más pensar que todo está definido sobre $\mathbb C$ . Mi primera pregunta es

¿Está bien esta suposición?

En realidad, esto sólo viene con las referencias que he estado leyendo para dilucidar la situación.

Mi esperanza era poder trabajar con la incrustación de álgebras de Lie $$ \mathfrak{g}_2 \hookrightarrow \mathfrak{so}(7)$$ (donde esta álgebra de mentira ortogonal es la forma de división apropiada), que surge de enviar la raíz simple corta de $\mathfrak{g}_2$ diagonalmente a los espacios de raíces apropiados de $\mathfrak{so}(7)$ .

Por lo que veo, no podemos exponer de ninguna manera esta incrustación como $G_2$ no se integra en $SO(7)$ sino en $Spin(7)$ . Pero no sé cómo utilizar de otra manera esta incrustación para realizar $G_2$ como un grupo de matrices. Mi pregunta es la siguiente

¿Existe una forma de utilizar esta incrustación de álgebras de Lie para realizar $G_2$ como un grupo de $7\times 7$ ¿matrices? Si no es así, ¿qué pasa con la incrustación en $spin(8)$ ?

Como ya se ha dicho, realmente quiero entender la incrustación como una de grupos algebraicos, no de grupos de Lie. Si hay alguna confusión obvia por mi parte sobre el trabajo con los grupos algebraicos frente a los grupos de Lie, por favor, siéntase libre de explicar.

Answer 1

Por si sirve de algo, voy a publicar la solución. Me equivoqué al decir que no hay una incrustación $$G_2 \hookrightarrow SO_7.$$

Tal incrustación existe en el nivel de los grupos algebraicos, en lugar de sólo en el nivel de las álgebras de Lie, que surge de la Norma sobre los octoniones imaginarios, que $G_2$ deja invariable. Había interpretado mal un comentario en el libro Lie Groups de Dan Bump, en el capítulo 33, que me llevó a suponer que tal incrustación no existía.

Mi confusión vino del hecho de que al intentar exponer explícitamente la incrustación en álgebras de Lie $$\mathfrak{g}_2 \hookrightarrow \mathfrak{so}_7,$$

hay que tener cuidado con los vectores elegidos para la raíz corta $\alpha$ que se incrusta diagonalmente en dos espacios de raíces simples (ortogonales) de $\mathfrak{so}_7$ .

Supongamos que las dos raíces simples de $\mathfrak{g}_2$ son $\alpha$ (corto) y $\beta$ (largo), y las 3 raíces simples para $\mathfrak{so}_7$ son $\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3$ con vectores raíz $e_i\in \mathfrak{so}_7$ . (aquí estoy numerando las raíces de acuerdo con Bourbaki, por lo que hay un doble enlace en el diagrama de Dynkin entre los nodos correspondientes a $\gamma_2$ y $\gamma_3$ .)

Queremos incrustar $\mathfrak{g}_2$ de una manera que corresponde al diagrama de plegado del tipo $B_3$ para escribir $G_2$ (ver este artículo de la wikipedia ), por lo que enviamos $$\beta \mapsto \gamma_2$$ y $$\alpha\mapsto \gamma_1\oplus\gamma_2,$$ donde quiero decir que mapeamos el espacio de la raíz de $\beta$ al espacio raíz de $\gamma_2$ en $\mathfrak{so}_7$ y mapeamos el espacio de raíces de $\alpha$ en diagonal en los espacios de las raíces de $\gamma_1$ y $\gamma_3$ .

La clave aquí es la imagen del vector raíz $e_{\alpha}$ podría ser cualquier combinación lineal no trivial $ae_1+be_3$ (es decir: $ab\neq 0$ ). Esto se debe a que las dos raíces $\gamma_1$ y $\gamma_3$ son ortogonales en $\mathfrak{so}_7$ por lo que cualquier combinación lineal será un valor propio de la coroot $h_{\alpha}$ (véase más abajo).

Se puede comprobar (y esta es la principal fuente de confusión que ha llevado a mi pregunta) que si $h_{\alpha}$ es el coroot en $\mathfrak{g}_2$ para $\alpha$ y si $h_1, h_3$ son los coroots en $\mathfrak{so}_7$ correspondiente a $\gamma_1$ y $\gamma_3$ entonces $$h_{\alpha} \mapsto h_1+2h_2.$$

Esto debe tener que ver con el doble enlace en el diagrama de Dynkin, pero no me queda claro cómo se podía esperar esto. En cualquier caso, para incrustar $\mathfrak{g}_2$ en $\mathfrak{so}_7$ se necesita usar esto para definir apropiadamente los vectores de las raíces negativas, el $f_{\lambda}$ para las raíces positivas $\lambda$ .

Si quieres que tus matrices sean tales que $e_{\lambda}^T = f_{\lambda}$ se toma la incrustación $$e_{\alpha} \mapsto e_1+\sqrt{2}e_3$$ .