Rudin - análisis funcional ejercicio 12.7

Question

Supongo que es unitaria, $U \in \mathcal{B}(H)$ y $\epsilon > 0$. Demostrar que % de escalares $\alpha{0}, ..., \alpha{n}$puede ser elegido, que\begin{align*} | U^{-1} - \alpha{0}I - \alpha{1}U - ... - \alpha_{n}U^{n} |

Answer 1

Esto es inmediato desde el teorema espectral, más dos ejercicios en análisis complejo elemental: (i) si $K$ es un subconjunto compacto correcto del círculo unidad entonces existen polinomios $P_n$ tal que $P_n(z)\to1/z$ uniformemente en $K$, (ii) si $P$ es un polinomio entonces sup de $|P(z)-1/z|$ sobre el círculo unitario es menos $1$.