Calculando el poder de las permutaciones.

Question

Tengo esta permutación $A$:

\left(\begin{array}{rrrrrrrrrr} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \ 10 & 8 & 5 & 2 & 3 & 1 & 6 & 4 & 7 & 9 \end{array}\right) $$ $$

Quiero calcular $A^9$. ¿Está bien para calcular de esta manera?

$$AAAAAAAAA$$

donde se define $A*A$ $A$ compuesto con $A$.

Gracias de antemano!!!

Answer 1

Escribir como el producto de desunido ciclos $$ A = (1, 10, 9, 7, 6) (2, 8, 4) (3, 5), $$ y luego de mucho más fácil, un $k$-ciclo tiene período $k$, así que la $$ A ^ 9 = (1, 10, 9, 7, 6) ^ {-1} (3, 5) = (1, 6, 7, 9, 10) (3 5) =\begin{pmatrix} 1 &2& 3& 4 &5 &6 &7 &8 &9 &10\ 6 &2& 5& 4& 3 &7& 9& 8& 10& 1\end{pmatrix}. $$

PS Disculpas, escribo mi permutaciones de izquierda a derecha.

Answer 2

Esta bien, pero no es la manera más rápida. La forma más rápida (sin necesidad de utilizar herramientas tales como teorema de Lagrange) es calcular por cuadratura repetida: $A^9 = (((A^2)^2)^2)A$.

Edición: Bueno, no estoy seguro si mi camino es más rápido que la solución publicada por Andreas (factorización como producto de ciclos), creo que ambos son útiles para saber.