¿Qué tipo de discontinuidad es$\sin(1/x)$?

Question

Para aquellos de ustedes que están familiarizados con la gráfica de$\sin(\dfrac{1}{x})$, las cosas se ponen bastante 'intensas' como $x \to 0$.

¿Es esta una discontinuidad removible o una discontinuidad infinita o incluso discontinua? Por último, ¿es diferenciable en$x = 0$?

Answer 1

En primer lugar, la función de $$f(x) = \sin\left(\frac{1}{x}\right)$$ isn't defined at $0$. Así que no es continua. Para que una función sea derivable debe ser continua, por lo que no es diferenciable.

Ahora, además de no ser definido en $0$, el límite: $$\lim_{x\to 0} f(x)$$ también no existe. Entonces no es una discontinuidad removible. Uno podría llamar a esto una discontinuidad esencial. Como se define en el artículo de la Wikipedia, también se podría llamar a esto una discontinuidad infinita (pero en mi opinión, uno debe mantener ese término para, a continuación, uno de los límites laterales es más o menos infinito).

Answer 2

No sé qué es "discontinuidad infinita", pero$\,x=0\,$ es un punto de discontinuidad de la segunda clase, y la más fuerte: los límites unilaterales de la función allí no existen en la forma generalizada:

PS

y ahora repite lo anterior con

PS

Answer 3

La función$\sin{\frac{1}{x}}$ no alcanza un límite como$x\rightarrow 0$.

Dejar $f(x)=\sin{\frac{1}{x}}$

$f(x)$ alcanza un límite$l$, entonces existe un$\delta>0$ por cada$\epsilon >0$ de manera tal que$\left|f(x)-l\right|<\epsilon$ tal que$0<\left|x-0\right|<\delta$.

Teniéndolo en cuenta desde la derecha, tenemos$0<x<\delta$ o$\infty<\frac{1}{x}<\frac{1}{\delta}$. Lo que significa que hay un número infinito de$\frac{1}{x}$ de la forma$2n\pi$. Lo que significa que la función está oscilando en el intervalo y el límite no existe