Producto infinito de Euler para la función seno y relación de ecuaciones diferenciales

Question

Producto infinito de Euler para la función seno

$$\displaystyle \sin( x) = x \prod_{k=1}^\infty \left( 1 - \frac{x^2}{\pi^2k^2} \right)$$

http://en.wikipedia.org/wiki/Basel_problem

Sabemos que $\sin( x)$ satisface $y''+y=0$ ecuación diferencial.

$$\displaystyle \frac{\sin'( x)}{\sin( x)} = \frac{1}{x}-2x \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{\pi^2k^2-x^2}$$

$$\displaystyle \sin'( x) = \sin( x)\left(\frac{1}{x}-2x \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{\pi^2k^2-x^2} \right)$$

$$\displaystyle \sin''( x) = \sin'( x) \left(\frac{1}{x}-2x \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{\pi^2k^2-x^2}\right)+ \sin( x) \left(-\frac{1}{x^2}-2\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{\pi^2k^2-x^2}-4x^2 \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(\pi^2k^2-x^2)^2}\right)$$

$$\displaystyle \sin''( x) = \left(\frac{\sin( x)}{x}-2x \sin( x) \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{\pi^2k^2-x^2}\right) \left(\frac{1}{x}-2x \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{\pi^2k^2-x^2}\right)+ \sin{x} \left(-\frac{1}{x^2}-2\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{\pi^2k^2-x^2}-4x^2 \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(\pi^2k^2-x^2)^2}\right)$$

$$\displaystyle \sin''( x) = \sin x \left(+4x^2\left(\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{\pi^2k^2-x^2} \right)^2-6 \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{\pi^2k^2-x^2} -4x^2\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(\pi^2k^2-x^2)^2} \right)$$

Si $\sin( x)$ satisface $y''+y=0$ ecuación diferencial.

Entonces $$4x^2\left(\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{\pi^2k^2-x^2} \right)^2-6 \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{\pi^2k^2-x^2} -4x^2\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(\pi^2k^2-x^2)^2}=-1$$ debe ser igual

Estoy atascado para demostrar la relación de otra manera. ¿Cómo puedo demostrar que la última relación es igual a $-1$ ?

Nota:
Si

$x=0$

Fácilmente podemos ver que

$$-6 \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{\pi^2k^2} =-1$$ $$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} =\frac{\pi^2}{6}$$

Este resultado es el famoso problema de Basilea.

Gracias por las respuestas

Answer 1

La primera suma es un suma conocida que no voy a probar aquí:

$$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\pi^2 k^2-x^2} = \frac{1}{2 x} \left ( \frac{1}{x}-\cot{x}\right)$$

La segunda suma, en cambio, no he podido encontrarla en una referencia. Sin embargo, se puede evaluar utilizando los residuos. Es decir,

$$\sum_{k=-\infty}^{\infty} \frac{1}{(\pi^2 k^2-x^2)^2} = -\sum_{\pm} \text{Res}_{z=\pm x/\pi} \frac{\pi \cot{\pi z}}{(\pi^2 z^2-x^2)^2}$$

Te ahorraré el cálculo de residuos aquí; no hace falta decir que el resultado de la suma es

$$\sum_{k=-\infty}^{\infty} \frac{1}{(\pi^2 k^2-x^2)^2} = \frac{\cot^2{x}}{2 x^2} + \frac{\cot{x}}{2 x^3}+ \frac{1}{2 x^2}$$

lo que significa que

$$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(\pi^2 k^2-x^2)^2} = \frac{\cot^2{x}}{4 x^2} + \frac{\cot{x}}{4 x^3}+ \frac{1}{4 x^2} - \frac{1}{2 x^4}$$

También dejo el álgebra al lector para que introduzca estas expresiones en la ecuación que el OP ha proporcionado. Al final, sí, la relación es cierta.