Tengo una pregunta sobre la unión de intervalos.
Mi profesor dice que la unión de intervalos no es un intervalo.
¿Siempre es así?
Es decir
$[0,2] \cup [4,5]$ no es un intervalo, porque $[0,2] \cap [4,5]= \varnothing ,$
pero ¿qué pasa con
$ (0,8) \cup (7,9).$
Creo que esto es un intervalo porque $(0,8) \cup (7,9)=(0,9)$ .
Para que una afirmación sea verdadera en matemáticas, debe siempre ser cierto sin excepción. La afirmación "La unión de dos intervalos es un intervalo" es falsa porque aunque, a veces, la unión de dos intervalos es un intervalo (como en tu segundo ejemplo), hay contraejemplos. Como la afirmación no es siempre verdadera (como en tu primer ejemplo), decimos que es falsa.
El problema es que tú y tu profesor tenéis diferentes interpretaciones de un enunciado ambiguo en inglés como un enunciado matemático preciso.
"La unión de [dos] intervalos cualesquiera no es [necesariamente] un intervalo". Esta afirmación se demuestra fácilmente proporcionando dos intervalos disjuntos cuya unión no es un intervalo, como [0,2] y [4,5].
En otras palabras, existe un contraejemplo a la falsa afirmación "Para todos los intervalos $X$ y $Y$ , $X \cup Y$ es también un intervalo".
"La unión de [dos] intervalos particulares no es [nunca] un intervalo". Esta afirmación se demuestra fácilmente falsa proporcionando un ejemplo de dos intervalos superpuestos cuya unión es un intervalo, como (0,8) y (7,9).
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