Permutaciones de impar/Par

Question

¿Cómo se clasifica una permutación como impar o par (composición de un número impar o par de transposiciones)? Entiendo un poco la definición del libro de texto, pero me cuesta conceptualizar y determinar cómo se determina realmente si es impar o par.

Answer 1

Los resultados se obtienen de forma natural al considerar la acción de $S_n$ sobre arreglos :

Una lista $[k_1, \ldots, k_n]$ hecho tomando $1, 2, \ldots, n$ en algún orden se llama un arreglo.

Para $\sigma \in S_n$ y la disposición $[k_1, \ldots, k_n]$ podemos definir

$$\sigma * [k_1, \ldots, k_n] := ( [k_1, \ldots, k_n] \text{ after putting each } k_i \text{ into slot } \sigma(i) )$$

Eso es, $[k_1, \ldots, k_n] \rightsquigarrow \sigma * [k_1, \ldots, k_n]$ equivale a poner lo que hay en la ranura $i$ en la ranura $\sigma(i)$ .

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Nota $\sigma * [k_1, \ldots, k_n] = [k_{\sigma^{-1} (1)}, \ldots, k_{\sigma^{-1} (n)}]$

[ Porque en $[k_1, \ldots, k_n] \rightsquigarrow \sigma * [k_1, \ldots, k_n]$ el $k_t$ que se envía a la ranura $j$ satisface $\sigma(t) = j$ es decir $t = \sigma ^{-1} (j)$ .]

También $\sigma * ( \tau * [k_1, \ldots, k_n] ) = (\sigma \tau) * [k_1, \ldots, k_n]$

[ Porque en $[k_1, \ldots, k_n] \rightsquigarrow \sigma * (\tau * [k_1, \ldots, k_n])$ , $k_i$ se envía primero a la ranura $\tau(i)$ y luego a la ranura $\sigma(\tau(i))$ . Y $[k_1, \ldots, k_n] \rightsquigarrow (\sigma \tau)*[k_1, \ldots, k_n]$ tiene el mismo efecto. ]

Vamos a escribir $``\, [k_1, \ldots, k_n] \stackrel{\sigma}{\rightsquigarrow} [l_1, \ldots, l_n]"$ para significar $`` \, [l_1, \ldots, l_n] = \sigma * [k_1, \ldots, k_n]"$ .

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Ejemplo 1 . Ciclo $(1 \, \, 2 \, \, 3 \, \, 4) = (1 \, \, 4) (1 \, \, 3) (1 \, \, 2)$ . Es fácil comprobar que esto es cierto, pero aquí tenemos una forma de llegar a la descomposición :

Así que $$(1 \, \, 2 \, \, 3 \, \, 4)*[1,2,3,4] = (1 \, \, 4)*\bigg( (1 \, \, 3) * ( (1 \, \, 2) * [1,2,3,4]) \bigg)$$

es decir

$$(1 \, \, 2 \, \, 3 \, \, 4)*[1,2,3,4] = (1 \, \, 4) (1 \, \, 3) (1 \, \, 2) * [1,2,3,4]$$

es decir

$$(1 \, \, 2 \, \, 3 \, \, 4) = (1 \, \, 4) (1 \, \, 3) (1 \, \, 2)$$

Esto sugiere en general $(a_1 \, \, a_2 \, \, \ldots \, \, a_k) = (a_1 \, \, a_k) (a_1 \, \, a_{k-1}) \ldots (a_1 \, \, a_2)$ , lo que se puede comprobar fácilmente que es cierto.

También cualquier $\sigma \in S_n$ es un producto de ciclos disjuntos, y cada ciclo se descompone por $(a_1 \, \, a_2 \, \, \ldots \, \, a_k) = (a_1 \, \, a_k) (a_1 \, \, a_{k-1}) \ldots (a_1 \, \, a_2)$ . Así que cada $\sigma \in S_n$ es un producto de transposiciones.

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Ejemplo 2 .

Así que

$$(1 \, \, 4) = (1 \, \, 2) (2 \, \, 3) (3 \, \, 4) (2 \, \, 3) (1 \, \, 2)$$

Del mismo modo, en general, cualquier transposición es un producto de un número impar de "transposiciones elementales" [ es decir, transposiciones de la forma $(j \, \, j+1)$ ]

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Para $\sigma \in S_n$ , un par $i < j$ tal que $\sigma(i) > \sigma(j)$ se llama inversión en $\sigma$ . También $\text{inv}(\sigma)$ denota el número de inversiones en $\sigma$ .

Para seguir la paridad de $\text{inv}(\sigma)$ podemos ver el signo $\text{sgn}(\sigma) := (-1)^{\text{inv}(\sigma)}$ . Permutaciones con signo $1$ se llaman pares, y los de signo $(-1)$ impar.

Por una "inversión en la disposición $[k_1, \ldots, k_n]$ ", nos referiremos a una inversión en $\sigma = \begin{pmatrix} 1 &2 &\ldots &n \\ k_1 &k_2 &\ldots &k_n \end{pmatrix}$ [ es decir, un par $k_i, k_j$ en $[k_1, \ldots, k_n]$ donde el mayor de los dos está a la izquierda del menor ]. Del mismo modo, el signo de un acuerdo también es significativo.

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Aviso para cualquier $(j \, \, j+1) \in S_n$ , $[k_1, \ldots, k_n] \rightsquigarrow (j \, \, j+1)*[k_1, \ldots, k_n]$ cambia el número de inversiones por $\pm 1$ (y, por lo tanto, da la vuelta al signo).

Por lo tanto, para cualquier transposición $\tau \in S_n$ escribiéndola como producto del número impar de transposiciones elementales (ejemplo 2) da que $[k_1, \ldots, k_n] \rightsquigarrow \tau * [k_1, \ldots, k_n]$ invierte el signo.

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Dejemos que $\tau_1, \ldots, \tau_k \in S_n$ sean transposiciones. Mirando su producto $\sigma = \tau_1 \ldots \tau_k$ ,

$$(\tau_1 \ldots \tau_k)*[1, \ldots, n] = \tau_1 * \big( \ldots * (\tau_k * [1, \ldots, n]) \ldots \big)$$

Como ha señalado RHS $(-1)^k$ ,

$$\text{sgn}(\tau_1 \ldots \tau_k * [1, \ldots, n]) = (-1)^k$$

es decir

$$\text{sgn}([\sigma^{-1}(1), \ldots, \sigma^{-1}(n)]) = (-1)^k$$

es decir $\text{sgn}(\sigma ^{-1}) = (-1)^k$ Es decir $\text{sgn}(\tau_k \ldots \tau_1) = (-1)^k$ .

Así que el producto de cualquier $k$ transposiciones tiene signo $(-1)^k$ .

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Dejemos que $\sigma, \pi \in S_n$ . Escribirlos como producto de transposiciones (ejemplo 1)

$$\sigma = \tau_1 \ldots \tau_k \\ \pi = \tau'_1 \ldots \tau'_l$$

tenemos $\text{sgn}(\sigma \pi) = \text{sgn}(\tau_1 \ldots \tau_k \tau'_1 \ldots \tau'_l)$ $= (-1)^{k+l} = (-1)^k (-1)^l$ $= \text{sgn}(\tau_1 \ldots \tau_k) \text{sgn}(\tau'_1 \ldots \tau'_l)$ $= \text{sgn}(\sigma) \text{sgn}(\pi)$ .

Así que finalmente para cualquier $\sigma, \pi \in S_n$ , $$\fbox{$ \text {sgn}( \sigma \pi ) = \text {sgn}( \sigma ) \text {sgn} ( \pi ) $}$$

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Ejemplo 3 . Como $(a_1 \, \, a_2 \, \, \ldots \, \, a_k) = (a_1 \, \, a_k) (a_1 \, \, a_{k-1}) \ldots (a_1 \, \, a_2)$ , $\text{sgn}(a_1 \, \, a_2 \, \, \ldots \, \, a_k) = (-1)^{k-1}$ .

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Ref : Se puede encontrar una discusión similar en el "Curso de Álgebra" de E.B.Vinberg.