¿Cómo se clasifica una permutación como impar o par (composición de un número impar o par de transposiciones)? Entiendo un poco la definición del libro de texto, pero me cuesta conceptualizar y determinar cómo se determina realmente si es impar o par.
Toda permutación puede expresarse como el producto de una y sólo una de las siguientes:
Hay muchas formas de escribir una permutación como producto de transposiciones, y pueden variar en longitud, pero esos productos tendrán o bien un impar o un número par de factores, nunca ambos.
Si se conoce la notación cíclica, conocer la paridad (imparidad/imparidad) se puede encontrar con bastante facilidad.
Siempre se puede recurrir a seguir el patrón:
$$(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5) = (a_1, a_5)(a_1, a_4)(a_1, a_3)(a_1, a_2)$$ que es par porque hay cuatro transposiciones.
Alternativamente:
$$(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5) = (a_1, a_2)(a_2, a_3)(a_3, a_4)(a_4, a_5)$$
De nuevo, un número par de transposiciones $\iff$ la permutación es par.
Verás que el número de transposiciones en un producto correspondiente a una permutación que es un ciclo de longitud $n$ puede expresarse como el producto de $n - 1$ transposiciones. Así que un ciclo con una longitud que es par (tiene un número par de elementos) es impar, y un ciclo con una longitud que es impar (tiene un número impar de elementos) es EVEN.
Si se tiene una permutación que es el producto de ciclos disjuntos: digamos tres ciclos, correspondientes a longitudes $n_1, n_2, n_3$ entonces el número de transposiciones que representan esta permutación puede ser calculado por la paridad de $(n_1 - 1)+(n_2 - 1) + (n_3 - 1)$ o simplemente la paridad (imparidad/imparidad) de $n_1+n_2+n_3 - 1$
Una nota final: la permutación de identidad (es decir, la permutación de "no hacer nada"): la permutación que puede representarse como el producto de los ciclos de un solo envío $1 \mapsto 1,\;2\mapsto 2,\; \cdots , n\mapsto n\;$ se considera siempre una permutación PAR. ¿Por qué? Pues bien, observa que podemos representar la permutación identidad por el producto, digamos, de $(12)(12) = (12)(12)(3)\cdots(n) = (1)(2)(3)\cdots (n)$ por lo que se trata de una permutación par.
No entendí cómo > $(12)(12) = (12)(12)(3)\cdots(n) = (1)(2)(3)\cdots (n)$ muestra que la identidad es una permutación par.
En pocas palabras, es como sumar Impares y números pares. Si sumas dos números pares, sólo obtendrás otro número par. Si sumas dos números Impares, obtendrás un número par. Si sumas un impar y un número par, obtendrás otro número impar.
Funciona igual para las permutaciones. "impar" y "Par" se definen en términos de cómo interactúan. Define la permutación identidad (es decir, la que no mueve ningún elemento) como una permutación par, ya que aplicándola dos veces se produce a sí misma.
Ahora, considera las permutaciones más pequeñas posibles: las que intercambian dos elementos, pero que por lo demás dejan todo como está. Por ejemplo, si consideramos {1,2,3,4,5}, podríamos tener {1,3,2,4,5} como ejemplo. Estas se definen como permutaciones "Impares", y se denominan "transposiciones".
El uso de este concepto es que, al expresar una permutación en términos de otras permutaciones, se conserva la imparidad y la paridad, independientemente de cómo se exprese. Por ejemplo, si tienes el número 37, no importa de cuántas maneras lo expreses como una suma de enteros, necesariamente habrá un número impar de números Impares en la suma - 36+1 tiene un impar, 32+3+1+1 tiene tres impares, y así sucesivamente.
La permutación {3,2,1} podría expresarse como "cambiar uno y tres", una única transposición. Eso la convierte en una permutación impar. También podría expresarse como "cambiar las posiciones 1 y 2 ({2,1,3}), luego cambiar las posiciones 2 y 3 ({2,3,1}), luego cambiar las posiciones 1 y 2 ({3,2,1})" - tres transposiciones, de nuevo impar. No importa cómo se exprese, siempre requerirá un número impar de permutaciones impar.
Para demostrarlo en acción, considere la función $$ f(a,b,c) = \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} $$ Ahora, si aplicas una permutación impar sobre las tres variables, obtendrás un resultado diferente. Pero si aplicas una permutación par, obtendrás el mismo resultado.
También se puede pensar en la extrañeza en términos de "ciclos". Toda permutación puede expresarse en términos de un conjunto de ciclos mutuamente excluyentes. Por ejemplo, {3,7,4,1,6,2,5} puede expresarse como (431)(6572), donde la notación significa "mover 4 a 3, mover 3 a 1 y mover 1 a 4" y "mover 6 a 5, mover 5 a 7, mover 7 a 2 y mover 2 a 6". ¿Cómo ayuda esto? Simplemente, si cuentas el número de elementos dentro de un ciclo, si el resultado es par, es una permutación impar, y viceversa. Así que aquí tenemos 3 elementos y 4 elementos, haciendo una permutación par y una impar, respectivamente.
¿Por qué 3 elementos forman una permutación par? Porque se puede expresar como dos transposiciones: (431) se convierte en (43)(31). Del mismo modo, un ciclo de 4 elementos es impar - (6572) se convierte en (65)(57)(72).
Usted ha puesto el ejemplo de ir de {1,2,3} a {3,2,1} y ha dicho que "No importa cómo lo exprese, siempre requerirá un número impar de permutaciones impar". ¿Puedes demostrar que, en general, si algo requiere un número impar de permutaciones para ir de un estado x a otro estado y, entonces no hay forma de que podamos ir del estado x al estado y usando un número par de permutaciones?
@HemantAgarwal - este no es el foro apropiado para ese nivel de pruebas. La pregunta era sobre cómo se clasifican. Te habría sugerido que lo hicieras como una nueva pregunta en math.SE, pero ya se ha preguntado, aquí math.stackexchange.com/questions/46403/ - o aquí, math.stackexchange.com/questions/4768/
@HemantAgarwal - si, en cambio, estás pidiendo una prueba general en el caso específico de [3,2,1], entonces es bastante fácil de obtener observando que, si etiquetas [1,2,3], [2,3,1], y [3,1,2] como "par" y [1,3,2], [2,1,3], y [3,2,1] como "impar", entonces cualquier transposición simple (se puede comprobar por agotamiento) te cambiará de una a otra.
Lo que lo hace aún más sencillo:
Toda permutación puede reducirse a una secuencia de "intercambios de dos elementos": por ejemplo, la permutación que transforma 123 en 312 puede escribirse como (13)(12): primero se intercambian 1 y 3: 123-> 321, luego se intercambian 1 y 2: 321->312.
Por supuesto, hay muchas formas diferentes de hacerlo. Cualquier permutación consistirá en un número par de intercambios o en un número impar, independientemente de cómo se haga.
Una permutación par es aquella que requiere un número par de "intercambios", una permutación impar es aquella que requiere un número impar de "intercambios".
Cualquier permutación puede escribirse como un producto de transposiciones. Si el número de transposiciones es par, se trata de una permutación par, en caso contrario es una permutación impar. Por ejemplo $(132)$ es una permutación par como $(132)=(13)(12)$ puede escribirse como un producto de 2 transposiciones.
Para determinar si $(a_1a_2\cdots a_n)(b_1b_2\cdots b_m)\cdots$ es una permutación par descomponer cada ciclo en transposiciones : $(a_1a_2\cdots a_m)=(a_1a_2)(a_1a_3)\cdots(a_1a_n)$ . El número total de transposiciones para todos los ciclos debe ser un número par para una permutación par.
Hay otra definición de permutación par/impar que encontré en uno de los libros, que me pareció más fácil de entender. Es:
Sea P una función de permutación sobre un conjunto S . Para un par (i,j) de elementos en S tal que i < j , si P(i) > P(j), entonces se dice que la permutación invierte el orden de (i,j). El número de tales pares se conoce como la paridad de la permutación. Si la permutación invierte un número par de tales pares es una permutación par, si no, es una permutación impar.
Hola, ya respondí a esto hace 3 años. Déjame buscar el libro. No puedo prometer que lo encuentre. Seguramente lo intentaré.
El libro "Aspects of Symmetry", de Robert Howlett, utiliza una definición similar (véase la página 44 de PDF en línea del sitio web del autor
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