Encontrar una integral de probabilidad

Question

Para $0 <t<1$ expresar la integral $$ \int_0^\pi \int_{\max\left\{-1;\cos x - \frac{t}{\sin x}\right\}}^{\cos x} \frac{dy}{\sqrt{1-y^2}} \, dx $$ en función de $t$ (sin integrales).

Lo siento, pero en realidad no conozco ningún intento de hacerlo.

Answer 1

Esta no es una respuesta completa, pero es demasiado larga para un comentario, tal vez alguien pueda utilizarla.

Considere $f_t(x):=\cos x -\frac{t}{\sin x}$ .

A partir de un debate sobre $f_t(x)$ vemos que para cualquier $0<t<1$ tiene un único máximo mayor $-1$ en $[0,\pi]$ y desde ahí hacia los dos límites del intervalo $x\to 0,\pi$ va a $f_t(x)\to-\infty$ monótonamente. Por ello, $\forall t$ hay dos puntos $0<x_-(t)<x_+(t)<\pi$ con $f_t(x_\pm (t))=-1$ donde la integración se puede descomponer como

$$\int_0 ^\pi dx \int_{\min(-1,f_t(x))} ^{\cos x} dy (\cdot)= \left(\int_0 ^{x_-(t)}dx+\int_{x_+(t)}^\pi dx\right)\int_{-1} ^{\cos x}dy(\cdot) + \int_{x_-(t)} ^{x_+(t)}dx\int_{f_t(x)} ^{\cos x}dy(\cdot)$$

Derivaré $x_\pm (t)$ La única pieza que le falta a su rompecabezas es encontrar $\int dx \arcsin(f_t(x))$ que no he podido hacer.

Queremos resolver

$-1=f_t(x):=\cos x -\frac{t}{\sin x}$ .

Multiplicar por $\sin x$ , sustituto $c=\cos x$ Utilizar $\sin x=\sqrt{1-c^2}$ y finalmente cuadrarlo. Se termina con

$$(1-c^2)(1+c)^2=t^2$$

Ahora viene el feo trabajo de resolver esta ecuación de cuarto orden dando cuatro soluciones. Dos de ellas son puramente reales, que se leen:

$$c_\pm(t)=\pm\frac{A(t)}{2}+\frac{B(t)}{2\sqrt{3}}-\frac{1}{2}$$ donde

$$A(t)=\sqrt{\frac{A_1(t)-z(t)-4t^2}{3z(t)}+2}$$ $$A_1(t)=\frac{2\sqrt{3}}{B(t)}$$ $$B(t)=\sqrt{\frac{3z(t)^2+3z(t)+4t^2}{z(t)}}$$ $$z(t)=\left(2t^2+\frac{2t^2\sqrt{27-16t^2}}{3^{3/2}}\right)^{1/3}$$

Los valores de $x_\pm(t)$ vienen dadas por

$$x_\pm (t)=\arccos(c_\pm(t))$$

Answer 2

Lo siento, no se me permite comentar, tampoco he encontrado un MP aquí. Este tipo afirma que ha encontrado una hermosa respuesta a su problema después de trabajar en ella durante dos meses.

Desplácese hacia abajo aquí (también puede ver la página de Google traducido versión). Si todo lo demás falla, puede intentar ponerse en contacto con él.