¿Qué es el lugar de un punto fijo en un círculo de radio$r$ rodando sobre la curva$y=\sin x$?

Question

¿Qué es el lugar de un punto fijo en un círculo de radio$r$ rodando sobre la curva$y=\sin x$? He estado luchando por el problema durante muchos días, pero no pude resolverlo. Geométricamente, el locus parece ser una serie de figuras de aspecto cicloide montadas en el exterior de la curva sinusoidal, pero analíticamente parece muy difícil encontrar la ecuación del locus.

Answer 1

Estoy viendo esta confusión en las respuestas y comentarios, así que bien podría abordar primero: elíptica integrales y elíptica funciones son no es lo mismo, de la misma manera que no se tiene en cuenta las funciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas a ser el mismo grupo.

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Habiendo conseguido que las quejas de mi pecho, he aquí una bonita dibujos animados para ayudar a usted (y más para mí) relax:

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Utilizando el enfoque general que se da en esta respuesta, y el uso de la arclength expresión demostrado en esta respuesta, las ecuaciones paramétricas para la "sinusoidal cicloides" puede ser expresado en la matriz-formato vectorial como

$$\begin{pmatrix}t\\\sin t\end{pmatrix}+\frac1{\sqrt{1+\cos^2 t}}\begin{pmatrix}1&-\cos t\\\cos t&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-r \sin\left(\frac{\sqrt{2}}{r}E\left(t\mid\frac12\right)\right)\\r-r \cos\left(\frac{\sqrt{2}}{r}E\left(t\mid\frac12\right)\right)\end{pmatrix}$$

donde $E(\phi\mid m)$ es la incompleta integral elíptica de segunda especie, que es un nonelementary función.

Answer 2

Se trata de una integral elíptica de segunda especie.

Deje $M = M(\theta) = (\theta, \sin \theta)$ ser el punto de contacto. La tangente en este punto es $T = (1, -\cos \theta)$ por lo que el centro de $I$ del círculo es tal que $\vec{MI} = (\frac {r \cos \theta} {1+\cos ^2 \theta}, \frac {r} {1+\cos ^2 \theta})$.

El punto fijo, $P$ sobre los rolling círculo se obtiene por $M$ por rotación alrededor de $I$ de un ángulo $s$ igual a la longitud de $OM$ a lo largo de las curvas, que es $s = \int _0^\theta \sqrt{1 + \cos^2 \theta} d\theta$. Explícitamente, $IP= (\frac {r \cos \theta} {1+\cos ^2 \theta} \cos s + \frac {r} {1+\cos ^2 \theta} \sin s , \frac {-r \cos \theta} {1+\cos ^2 \theta} \sin s + \frac {r} {1+\cos ^2 \theta} \cos s) $.

Así que el único paso que hace que la curva no-racional es la integral, que de hecho es una función elíptica, imposible de expresar con funciones elementales solo.