Validez de las ecuaciones de la hidrodinámicas relativistas

Question

Para un relativista fluido, la ecuación de estado está dada por:

$$ \rho = \rho_0 + \frac{3p}{c^2} \,.$$

La expresión anterior está muy bien derivados de Weinberg (1972). Aunque me han dicho que para un fluido compresible que es relativistically caliente (es decir, $p \gg \rho_0 c^2) $ bajo una aceleración constante, $g$, pero ausente de grandes cantidades de flujos en equilibrio, la siguiente es la ecuación de movimiento y la energía (cf. Allen & Hughes, 1984):

$$ \begin{align} \frac {\bf{V}}{c^2} \frac {\partial p}{\partial t} + \nabla p & ~~ = ~~ -\left(\frac {4p}{c^2} + \rho_0\right) \frac {\partial \bf{V}}{\partial t} - g \left(\rho_0 + \frac {4p}{c^2} \right) \\ \\ {\bf V} \cdot \frac {\nabla p}{c^2} & ~~ = ~~ \frac {3}{c^2} \frac {\partial p}{\partial t} + \nabla \cdot \left(\frac {4p}{c^2} \bf{V} \right) \end{align} $$

Son estas ecuaciones relativistas y realmente válido a pesar de no Lorentz factor que puede ser necesario para las velocidades cercanas a $c$? Traté de comprobar conectando la anterior ecuación de estado en la no-relativista de la hidrodinámica de las ecuaciones de momentum y energía (es decir, compresible ecuaciones de Euler), y recuperar expresiones muy cerca de la anterior, pero es un poco fuera por los coeficientes de 3 o 4, que podría ser debido a errores o efectos relativistas. Así son estas dos ecuaciones correcta? Si es así, cuando está por encima de la validez general?

Answer 1

Voy a esbozar una derivación de la primera ecuación, y muestran que se trata de una aproximación para pequeñas velocidades.

En GR si usted comienza a partir de la tensión tensor de energía de un fluido perfecto y asumir un débil campo de la métrica, se obtiene la siguiente ecuación para el líquido de las partículas: $$(\rho+p/c^2)(\partial_\beta u^\alpha +\Gamma^\alpha_{\lambda\beta} u^\lambda )u^{\beta}+\partial^\alpha p+\partial_\beta p\, u^\beta u^\alpha / c^2=0$$ En el límite Newtoniano se reduce a la usual de la ecuación de Euler. El próximo sustituimos la ecuación de estado y escribir $u^\alpha \approx (c, \mathbf v)$. Para $\alpha = i$ obtenemos: $$(\rho_0+4 p/c^2)\left(\frac{\partial \mathbf v}{\partial t}+\mathbf v \cdot \nabla \mathbf v +\Gamma^i_{\lambda\beta} u^{\beta} u^\lambda \right)+\nabla p+\left(\frac{\partial p}{\partial t}+\mathbf v \cdot \nabla p\right) \mathbf v / c^2=0$$ En el débil campo limitar el único superviviente de Christoffel símbolo es en este caso el $\Gamma^i_{00}\approx \mathbf g / c^2$, el potencial gravitacional. Ignorando los términos de $\mathcal{O}(\mathbf v^2)$: $$\nabla p+\frac{\mathbf v}{c^2} \frac{\partial p}{\partial t}=-(\rho_0+4 p/c^2)\left(\frac{\partial \mathbf v}{\partial t} +\mathbf g\right)$$ que es la primera ecuación que escribió.

Por lo tanto, es válido cuando: 1) las velocidades involucradas son mucho menores que la velocidad de la luz y el campo gravitacional es 2) débil y 3) estática. El papel de la comilla (Allen & Hughes, 1984) afirma explícitamente que estas condiciones el problema que estamos considerando. Para más información sobre los fluidos en el GR se puede comprobar las referencias que cita: Weinberg, 1972 y Landau Y Lifshitz 1963.