Derivada del cociente de Rayleigh

Question

Voy para la prueba del teorema espectral compacto y simétrico de los operadores en el espacio de Hilbert en Lax. Deje $A$ ser un equipo compacto simétrica operador en un espacio de Hilbert a sí mismo. Definir el cociente de Rayleigh para ser

$$R_A(x) = \frac{(Ax, x)}{\|x\|^2}$$

Deje $z$ vector que maximiza la forma cuadrática $(Ax, x)$ sobre la unidad de la bola. Deje $w$ ser arbitraria. Ahora, el texto afirma que $R(z + tw)$ es diferenciable, y ya que alcanza su máximo en$t=0$, $t$- derivada es cero, y tenemos

$$\frac{(Aw, z) + (Az, w)}{\|z\|^2} - (Az, z) \frac{(w, z) + (z, w)}{\|z\|^4} = 0$$

No veo por qué la función dada es diferenciable, ni el cálculo de su derivada.

Answer 1

Desde $t$ y $w$ son fijos, podemos poner $f(t):=R(z+tw)$ y @Yemon Choi sugiere, después de expandir los productos de interior: $$f(t)=\frac{||w||^2t^2+2t\Re (Aw,z)+(Az,z)}{||w||^2t^2+2t\Re (z,w)+||z||^2}.$ $ que tenemos, usando las reglas clásicas de la diferenciación: %#% $ de #% así la evaluación en $$f'(t)=\frac{2t||w||+2\Re (Aw,z)}{||w||^2t^2+2t\Re (z,w)+||z||^2}-\frac{||w||^2t^2+2t\Re (Aw,z)+(Az,z)}{(||w||^2t^2+2t\Re (z,w)+||z||^2)^2}(2t||w||^2+2\Re (Aw,z)),$ $t=0$ $ que es lo que se busca llegar.