Probando que $\{ a,b\} \subset \Bbb{R^{+}}$; $a+b=1 \implies a^2+b^2 \ge \frac{1}{2}$

Question

<blockquote> <p>$\{ a,b\} \subset \Bbb{R^{+}}$; $a + b = 1 \implies un ^ 2 + b ^ 2 \ge \frac{1}{2}$</p> </blockquote> <p>Estoy tratando de demostrarlo de la siguiente manera, pero no estoy seguro si es correcto. ¿Podría alguien por favor comprobarlo y ver si está bien?</p> <p>$a+b=1 \implies (a+b)^2 = 1^2 = 1 \implies (a+b)-(a+b)^2 = 1-1 =0$ <strong><em>(1)</em></strong></p> <p>$(a-b)^2 \ge 0$</p> <p>Por lo tanto <strong><em>(</em></strong> 1) tenemos:</p> <p>$(a-b)^2 \ge (a+b)-(a+b)^2$</p> <p>$(a^2-2ab+b^2) \ge (a+b) - (a^2+2ab+b^2)$</p> <p>$(a^2-2ab+b^2) + (a^2+2ab+b^2) \ge (a+b) $</p> <p>$ a^2+a^2+b^2+b^2+2ab-2ab \ge (a+b)$</p> <p>$2(a^2+b^2) \ge (a+b)$</p> <p>$2(a^2+b^2) \ge 1$</p> <p>$(a^2+b^2) \ge \frac{1}{2} $</p> <p>$\blacksquare$</p>

Answer 1

La prueba es correcta, pero podría hacerse un poco breves, con un aumento en la claridad.

Aquí está una prueba usando las mismas ideas como la tuya, pero creo que un poco más fácil de leer...

\begin{align} &a+b=1\[4pt] \implies\;&(a+b)^2 = 1\[4pt] \implies\;&(a+b)^2 + (a-b)^2 \ge 1\[4pt] \implies\;&2a^2 + 2b^2 \ge 1\[4pt] \implies\;&a^2 + b^2 \ge \frac{1}{2}\[4pt] \end{align}

Answer 2

OK, aquí es un enfoque diferente: utilizando gráficos. En el plano de coordenadas de $a,b$de %, $a+b=1$ representa una línea y $a^2+b^2=\frac{1}{2}$ representa un círculo. Ahora cuando usted gráfico (puedes hacerlo) observará que la línea queda totalmente fuera del círculo, excepto en un punto donde la línea es tangente. ¿Conclusión? Nota: No hay absolutamente nada de malo con una aproximación algebraica, a veces también es bueno considerar un enfoque geométrico.

Answer 3

Está bien. Podría también han puesto $b=1-a$ y minimizar una función cuadrática

Answer 4

sugerencia de AM-GM

$$(a+b)^2-a^2-b^2=2ab\le a^2+b^2$$

$$\implies 1-a^2-b^2\le (a^2+b^2) $$ $$\implies 1\le 2 (a^2+b^2). $$

Answer 5

Para una prueba alternativa, que $a=\frac{1}{2}+u\,$, entonces el $a+b=1 \implies b = 1-a = \frac{1}{2} - u$. Se deduce que:

$$ \require{cancel} a ^ 2 + b ^ 2 = \left (\frac {1} {2} + u\right) ^ 2 + \left (\frac {1} {2}-u\right) ^ 2 = \frac{1}{4}+\bcancel{u}+u^2+\frac{1}{4}-\bcancel{u}+u^2 = \frac{1}{2}+2u^2 \ge \frac{1}{2} $$

Nota que la condición de que $a,b$ sea positivo no es utilizado, o necesarios para que la conclusión de ser verdad.